DSC00065 (2)

276.    1 metoda. Zapiszmy równania danych prostych W postaci paty.' metrycznej

x=t, y=-2t oraz x=A+l, y=A— 1.

Z warunków zadania wynika, że spełniony musi być warunek NAmĄy_t gdzie M(t,-2l), N(X+1, A—1), tzn. [r-2, -2f-l]=[l-A,2-A]. Stąd /—2= 1 —A i 2/+l=A-2 lub inaczej f+A=3 i 2f—A=—3. Zatem 1*0, A=+3. Szukana prosta przechodzi więc przez punkty (0,0) i (4,2). Jej równanie jest x-2y=0.

II metoda. Niech szukana prosta będzie postaci y- l=m(x-2). Odcięte punktów przecięcia tej prostej z danymi prostymi są równe

2m—1    3—2m

xi=- i x₂ =-! Z

m+2    1 —m

Punkt A ma być środkiem odcinka łączącego punkty przecięcia danych prostych z szukaną, a więc musi być spełniona zależność |wę{ + x₂)=2,tzn.

2m —1 3—2m m+2 ł—m

Stąd m=j. Zatem szukana prosta ma równanie x—2y=0.

277.    Niech szukana prosta ma równanie y—3=m(x—2). Przecina om dane proste w punktach

■8m—5 9+m\    /Sm—20 9 — 14m\

B3+4m’3+4m/’    \3+4m’ 3+4m/‘

Z warunków zadania wynika, że odległość tych punktów jest 3./2. Zatem

/ ¹⁵ V f^15w I

\3+4m/

Stąd znajdujemy, że w, = -7, m₂—ł.. Szukane proste mają więc równania y-3=-7(x-2), y—3=|(x—2).

278.1 metoda. Rozwiązując układ równań 4x+5y=0,    x—3y=0

znajdujemy punkt przecięcia środkowych J9(0,0). Oznaczmy dany wierzchołek przez A. Punkt A! leżący na przeciwległym boku znajdziemy z warunku AD**2DA', tzn. z warunku [—2, 5]=2[x_A.,y_A.]. Stąd 2l'(-l,f). Niech

l«l

punkt B leży na prostą 4x+5y=0, a punkt C na prostej x-3y=0. Par*. metryzując równania obu prostych otrzymujemy B(5X, -4A), C(3f,«). Z warunku BA'=A'C, tzn. z zależności [-1-SA, |+4A]»13m-1, t-|}, aiajdujemy, że l— 1, X— — 1. Zatem B{— 5,4), C(3,1). Mając współrzędne wszystkich wierzchołków znajdujemy równania boków

AB\ 9x+7y+17=0, BC: 3x+8y-17=0, AC-. (>x-y~ 17=0.

II metoda. Wyznaczamy punkt przecięcia środkowych D(0,0).Niech szukanymi wierzchołkami będą •B(x,,y,) i C(x₂,y₂). Współrzędne tych punktów muszą spełniać równania SH

4x₁ + 5y₁=0,    x₂-3y₂=0

oraz wzory na współrzędne środka ciężkości trójkąta (por. zad, 225):

|(x₁+x₂+2)=0 i |(yi+y₂-5)=o.

Z powyższych zależności znajdujemy B(—5,4) i C(3,1), a następnie rów* aania boków.

279.    6x-t-y-8=0, 3x+y-5=0, y+4=0.

280.    2x+3y—1=0.    281. x-2y+4=0.

282. Zapiszmy równania prostych w postaci normalnej, tzn.

A    B    Cy

■■■/—■■■ .XH--T=== jH--, ' —==0,

V/l--rB²    -Ja²+B²    JA²+B²

A    B    C_t    _-V

\>J²Tb^{2 X} + sIl^+B² ^ ⁺ sf^+Br

Moduły wyrazów wolnych w tych równaniach są odległościami od początku układu współrzędnych. Odległość między prostymi równa

Bill

4a²+b² i

jeśli i C₂ mają te same znaki,

lub

lCi| + [C₂|

|Ja²+b²’

jeśli Cy i C₂ mają różne znaki.

Dwa powyższe wyrażenia

są równoważne wyrażeniu

im

•Ja²+b² ’

gdyż

169