DSC00073 (3)

danej ma postać y= ~2x+k. Wyrugujmy z tego równana i fgfjH okręgu zmienną y, otrzymując

5z*+(I6-4k)x+Jfc^ł-2fc+17=0.

Przyrównując wyróżnik tego równania do 0, otrzymujemy i ki = -21, skąd mamy dwie styczne spełniające warunki zadania:

y= ~2x—ł i y= — 2x—21.

II metoda. Przez środek 5(—6,1) danego okręgu poprowadźmy pro. stąy-l<=|(x+6) prostopadłą do danej prostej, a następnie przetnijmy ją zokr^iem otrzymując punkty przecięcia j4(—2,3), B(—10, -1). Prowadząc przez te punkty proste równoległe do prostej danej 2x+y-5=0, otrzymujemy dwie szukane styczne y——2x—l i y= —2x-21.

369.    2x+y—4=0, 2x-r>'+6=0. Por. zadanie 368. .

370.    Proste tworzące z prostą 5x—y+3—0 kąt |rc mają współczynniki

kierunkowe mi = | lub    Istnieją dwie proste styczne o współ

czynniku kierunkowym m_t (por. zadanie 368) i dwie styczne o współczynniku kierunkowym :n_x czvli cztery proste spełniające warunki zadania:

3x4 2y—9=0,    3x+2y—35=0,

2x~3y—6=0,    2x-3y+20=0.

,—    *—■    I x+20

371- V14.    372. Vi0.    373. y= ±|x, y=    •

374. Szukanym kątem jest kąt zawarty między stycznymi poprowadzonymi z punktu A do danego okręgu. Oznaczając ten kąt przez p widzimy, że sin |p=r/£<(, gdzie r jest promieniem, a S środkiem okręgu. Ponieważ r=i, 5,4=2, więc sinjf=|, skąd p=60°.    '

376. (x-a?+(y-by = ir. 377. 90°.    378. x¹+(y-2)^J=9. ■

379. (x—4)^J+(y 4-3)^J = ł.    380. (x+3)^ł+(y+7)*-41 =0.

382.    {x-H)^I+(y-3)^J=9, (x-£§)²+(y-^)*==9,

383.    Wystarczy rozpatrzyć przypadek, gdy równanie okręgu pierwsi go jest postaci x³+(y-5)^s»25, a drugiego (x-3)²+(y-4)*=9. Rozwią-żując ten układ równań znajdziemy punkty przecięcia P(3,1) i H Styczną do pierwszego okręgu w punkcie K jest 24x+7y—260=0, a do drugiego w punkcie P jest postaci y = 1. Stąd kąt ostry między tymi prostymi a»arctg*^,

384. Środek S(a, b) i promień r szukanego okręgu muszą spełniać układ równań:

a—b, ponieważ 5 leży na prostej y=x,

|2a—•b+2|_^^ odległość punktu I od prostej 2x—y+2=0, v5

(4-ay+O-a)²=r², odległość punktu S od środka okręgu K.

Stąd a=b=3, r=_N/5, a więc okrąg ma równanie (x—3)^ł+(y— 3)^ł=»5. Szukany punkt na osi Ox ma współrzędne (-6,0).

385. (x—l)*+(y—2)*=1,    (x-4)^a+(y-5)^ł=25.

386.1.    387. U³+£^ł)R³-C^ł=0.

388. Mamy

a)

\Aa+Bp-2C\

ypF+B*

<V«²+A²-4y,

1

s/a.²+fi¹—4y,

\Att+Bfl—2C\

ilA²~+B²

389.    C< 0.

390.    A_t leży na elipsie, A_z, A$ — wewnątrz elipsy, Aą, 4₃ - na zewnątrz elipsy.

391.    Ogniska mają współrzędne F,(—c, 0), F_a(c, 0), Ponieważ c¹= =a²-b*= 4, więc c=2. Szukane proste przechodzące przez punkty A i jFj oraz A i F_z mają równania x—2=0, 5x+12y+10=0.

392.    Z denyeh zadania wynika, że 2c=6 i cja=\. Zatem c=3, a=6. Ponieważ h²--sr—c²= 36 — 9 = 27, więc równanie elipsy mapostać^x³+ +»/“*•

393.    Równania kierownic są xw±o³yc, a mimośród e-cja. Mamy więc dwa równania «²/ę=8 i e/fl=|,/2, skąd znajdujemy, że a^A^Jl c=4. Ponieważ b- = 32 —16=16, więc szukane równanie ma postać fi®

fyHH ii

394.    Z danych zadania wynika, że b/u=|_N/3, tzn.

I o²-c² 1

■ j “3'    ffl

Sąd c²/a²=|, czyli c=c/a=V|.

395.    Z danych zadania wynika, że 2a³/c=4(2c), tzn. a²=4^, cz;

^e=ł-

1