Skręcanie swobodne prętów
Podstawy teorii de Saint-Venanta.
z
n
ds
B
v
dz
ą
w
Ć'x
r
B
s
dy
z
y
y
S
�
Przekrój niekołowy nie pozostaje po skręceniu pręta płaski, lecz ulega
deplanacji, czyli wypaczeniu. Zakłada się, \
e po obrocie przekroju,
d�
którego kontur zachowuje swój pierwotny kształt, o kąt �2 x (�2 = dx 
jednostkowy stały kąt skręcania, x  odległość między końcowym
nieruchomym oraz rozpatrywanym przekrojem pręta), dowolny punkt
przekroju B zajmie poło\
enie B , a ponadto dozna przemieszczenia u
w kierunku osi pręta x.
Skręcanie swobodne  swobodne wypaczenie wszystkich przekrojów
pręta. Wszystkie punkty le\
ące na odcinku równoległym do osi pręta
doznają jednakowego przemieszczenia, a więc odcinek ten nie zmienia
długości, czyli się nie odkształca.
Skręcanie nieswobodne  odcinek pręta odkształca się, co powoduje
powstawanie naprę\
eń normalnych w przekroju pręta skręcanego.
Teoria de Saint-Venanta skręcania swobodnego prętów o dowolnym
przekroju. Przemieszczenia v i w:
2 2
v = � xr sin � = -� zx
2 2
w = � xr cos � = � yx
Jednakowe wypaczenie wszystkich przekrojów pręta określa funkcja
(y,
deplanacji de Saint-Venanta � z)
2
u = � � (y, z)
Ze związków geometrycznych wynikają następujące składowe stanu
odkształcenia:
� = 0 � = 0 � = 0 ł = 0
x y z yz
�ł �ł
"�
2 �ł "�
ł = � �ł - z �ł
�ł �ł
xy
�ł
, ł xz = �2 �ł "z + y�ł
"y
�ł łł �ł łł
Na podstawie związków fizycznych mo\
na wyliczyć składowe stanu
naprę\
enia:
� = 0 � = 0 � = 0 � = 0
x y z yz
�ł �ł
"�
2 �ł "�
� = G� �ł - z �ł
�ł �ł
xy
�ł
, � xz = G�2 �ł "z + y�ł
"y
�ł łł �ł łł
Równania równowagi lokalnej mają postać:
"�
"� "�
"� xy
xy xz
xz
+ = 0
= 0 = 0
, ,
"y "z
"x "x
Po podstawieniu związków fizycznych i geometrycznych, dwa pierwsze
równania są to\
samościami, a z trzeciego otrzymujemy równanie
Laplace a:
"2� "2�
+ = 0
"y2 "z2
(y,
Tak więc � z) musi być funkcją harmoniczną.
F(y, z), a następnie:
Funkcja naprę\
eń Prandtla
"F
"F
2
� = -G�
2
� = G�
xz
xy
"y
"z
Porównując stronami ze związkami fizycznymi:
�ł �ł
"F
"F
2 2 �ł "�
�ł 2 2 �ł "�
G� = G� �ł - z - G� = G� + y�ł
�ł �ł
�ł
,
"z "y
"y "z
�ł łł
�ł łł
Po uproszczeniu G�2 , obustronnym zró\
niczkowaniu pierwszego z tych
równań względem z, a drugiego względem y i odjęciu stronami
otrzymujemy równanie Poissona:
"2F "2F
+ = -2
"z2 "y2
Funkcja naprę\
eń musi być tak dobrana, aby spełniała powy\
sze
równanie oraz warunki brzegowe. Normalna n w dowolnym punkcie
nieobcią\
onej bocznej powierzchni pręta tworzy z osiami x, y, z kąty
Ą Ą
, ą, -ą
cos(x,n)= 0
x y z yz
. Po uwzględnieniu � = � = � =� = 0 oraz ,
2 2
cos(y,n)= cosą cos(z,n)= siną
, otrzymamy warunek brzegowy:
� cosą +� siną = 0
xy xz
Składowa naprę\
enia stycznego w kierunku n (równa sumie rzutów
� ,�
xy xz na ten kierunek) musi być równa zeru  aksjomat Boltzmanna,
na powierzchni zewnętrznej prostopadłej do n nie ma naprę\
enia
stycznego. Po przekształceniu otrzymamy:
"F "F
cosą - siną = 0
"z "y
Między elementem ds krzywej konturu przekroju i dy oraz dz zachodzą
zale\
ności:
dz dy
cosą = siną = -
,
ds ds
które po podstawieniu:
"F dz "F dy "F
+ = 0 �! 2 = 0
"z ds "y ds "s
Stąd na konturze przekroju F = const, a dla przekroju jednospójnego
F(y, z)= 0
(bez otworów i wygięć)
Siły wewnętrzne w dowolnym przekroju A pręta muszą się redukować
do momentu skręcającego, co mo\
na zapisać następująco:
�ł �ł
"F "F
2
( )
M = � y -� z dA = -G�
s xy xz
+" +"�ł "y y + "z z �ł
�ł �łdA
�ł łł
A A
Po wprowadzeniu przekształceń:
"F "
"F "
y = (Fy)- F
z = (Fz)- F
oraz
"y "y
"z "z
równanie momentu skręcającego przyjmie postać:
�ł
" "
2
M = -G� �ł
s
+"�ł "y (Fy)+ "z (Fz)�łdA + 2G�2 +"FdA
�ł �ł
�ł łł
A A
Mo\
na wykazać, \
e przy zachowaniu warunku brzegowego pierwsza
całka jest równa zeru, więc:
2
M = 2G�
s
+"F(y, z)dA
A
Powy\
sze równania nale\
y traktować jako całkowity warunek brzegowy.
Powy\
sze równanie mo\
na przedstawić w formie analogicznej do
stosowanej w elementarnej teorii skręcania prętów o przekroju
okrągłym:
d� M
s
2
� = =
dx GJs
gdzie:
Js = 2
+"F(y, z)dA
A
jest wskaz
nikiem sztywności przekroju pręta na skręcanie.
Pręty cienkościenne o przekroju otwartym lub zamkniętym.
Prętem cienkościennym jest element maszyny lub budowli o
natępujących cechach geometrycznych: długość pręta jest du\
a w
stosunku do wymiarów przekroju, a grubość ścianki przekroju jest mała
w stosunku do długości jej linii środkowej. W zale\
ności od tego, czy
linia środkowa jest krzywą otwartą, czy zamkniętą, wyró\
nia sie pręty
cienkościenne o przekroju otwartym lub zamkniętym.
Kształty powierzchni utworzonej przez błonę nad otworem
modelującym ścianki przekroju pręta cienkościennego wskazują na to,
\
e występują w nich naprę\
enia styczne równoległe do brzegu ścianki.
Rozkład naprę\
eń stycznych w kierunku grubości ścianki jest:
 w przekroju otwartym zmienny
 w przekroju zamkniętym równomierny.
Analogia błonowa Prandtla
błona
błona
ułatwia zrozumienie rozkładu
naprę\
eń stycznych na
powierzchni przekroju pręta
cienkościennego
błona błona
� �
g/2 g/2 g/2 g/2
linia środkowa ścianki
linia środkowa ścianki
przekrój zamknięty
przekrój otwarty
Rozwa\
my skręcanie swobodne pręta o cienkościennym przekroju
symetrycznym względem osi y ze zmieniającą się łagodnie grubością
g(y).
Funkcję naprę\
eń F(y, z) przyjmujemy tak, aby zerowała się na
konturze, a więc spełniała warunek brzegowy:
1
2
F(y, z)= g (y)- z2
4
z
h
g(y)
�
0.5g(y)
y
g = const
�
z
y
h
Po zró\
niczkowaniu względem y otrzymamy:
"F 1
= 2g(y)dg(y)
"y 4 dy
Przy łagodnie zmieniającej się długości mo\
na przyjąć:
dg(y) "F "2F
"2F
H" 0 = 0 i = 0
= -2
a poniewa\

dy "y "y2
"z2
F(y,z) spełnia warunek brzegowy.
Obliczamy:
1
g(y)
h
2
Js = 2
+"F(y, z)dA = 2+" +"F(y, z)dydz
1
A 0
- g(y)
2
Poniewa\
:
1 1
g(y) g(y)
2 2
1 1
�ł
2
(y)- z2 łłdz = g3(y)
+"F(y, z)dz = +"
�ł4 g śł
6
�ł �ł
1 1
- g(y) - g(y)
2 2
Po podstawieniu otrzymujemy:
h
1
Js = g3(y)dy
+"
3
0
czyli wskaz
nik sztywności otwartego przekroju cienkościennego pręta
skręcanego.
M
s
2
Jeśli uwzględnimy G� = Js to mo\
emy wyznaczyć składowe
naprę\
enia stycznego w otwartym przekroju cienkościennego pręta:
"F M "F
s
2 2
� = � G = - 2z =� � = -� G = 0
xy xz
,
"z Js "y
Z powy\
szej zale\
ności wynika, \
e rozkład naprę\
eń stycznych � na
grubości cienkościennego symetrycznego przekroju otwartego ma
rozkład liniowy. Największe naprę\
enia styczne �max występują w
konturze przekroju w jego najgrubszym miejscu, czyli dla gmax:
h
1
g3(y)dy
+"
3
M gmax M M Js
s s s 0
� = = = �! Ws = =
max
Js
Js Ws gmax gmax
gmax
W przypadku g = const przekrój staje się wydłu\
onym prostokątem, a:
1 1
2
Js = g3h Ws = g h
,
3 3
Na krótszych bokach prostokąta nie są spełnione warunki brzegowe.
Zakrzywienie linii środkowej nie zmienia w znaczący sposób liniowego
rozkładu naprę\
eń stycznych na grubości przekroju pręta. Dlatego
powy\
sze zale\
ności mo\
na stosować w przypadku otwartych
przekrojów cienkościennych o krzywej środkowej i zmiennej lub
równomiernej grubości. Nale\
y jedynie dokonywać w nich oczywistych
modyfikacji y=s, dy=ds, h odmierzać wzdłu\
linii środkowej konturu, a
grubość g(y)=g(s) w kierunku normalnym do tej linii.
z
g(s)
0.5g(s)
S
�
-0.5g(s)
0
S
z
g = const
�
S
0
S
Rozwa\
my przypadek skręcania swobodnego pręta cienkościennego o
przekroju zamkniętym, o linii środkowej, wzdłu\
której odmierzać
będziemy współrzędną krzywoliniową s, i zmiennej grubości g(s).
błona nad otworem o kształcie zamkniętego
przekroju cienkościennego
ds
�(s)
równomierny
�2 g2
rozkład � na
r
grubości g
0
ścianki
Ms
g(s) g1
�1
dx
Kąt nachylenia błony rozpiętej nad otworem o kształcie
cienkościennego przekroju zamkniętego jest stały dla punktów
powierzchni odpowiadających określonej grubości przekroju. Z analogii
Prandtla wynika zatem, \
e rozkład naprę\
eń stycznych na grubości
przekroju jest równomierny.
Suma rzutów sił działających na segment wyodrębniony z pręta
cienkościennego o przekroju zamkniętym na oś x musi być równa zeru:
�1g1 =� g2 �! q(s)=�(s)g(s)= const
2
gdzie q(s)  wydatek naprę\
eń stycznych.
Moment skręcający Ms równy będzie sumie momentów elementarnych
sił wewnętrznych �(s) g(s) ds względem punktu 0:
M =
s
+"�(s)g(s)rds =�(s)g(s)+"rds
rds jest podwójnym polem trójkąta o podstawie ds i wysokości r, a więc
, gdzie A0 jest powierzchnią figury opisanej przez linię
+"rds = 2A0
środkową:
M =�(s)g(s)2A0 = q(s)2A0 �! a dalej
s
M M
s s
Pierwszy wzór Bredta �(s)= g(s)2A0 albo q(s)= 2A0
Maksymalne naprę\
enie tnące �max wystąpi w miejscu najmniejszej
grubości gmin:
M M
s s
� = = �! Ws = 2A0gmin
max
2A0gmin Ws
d�
Wzór na jednostkowy kąt skręcenia �2 = dx wynika z następujących
rozwa\
ań energetycznych:
1
2
� (s)
1
2
2
M � = g(s)ds
s
+"Śg(s)ds = +"
2 G
Właściwa energia sprę\
ysta ścinania wynosi:
2
1 � (s)
Ś =
2 G
Zatem:
2
1 1 M ds
s
2
M � =
s
2
+"
2 2 4A0G g(s)
skąd drugi wzór Bredta:
M M
s s
2
� = =
2
4A0 GJs
G
ds
+"
g(s)
gdzie:
2
4A0
Js =
ds
+"
g(s)
wskaz
nik sztywności zamkniętego przekroju cienkościennego pręta
skręcanego.
ds h
=
+"
Gdy g = const, wówczas (gdzie h  długość linii środkowej):
g(s) g
2
4A0 g
Js =
h
Przykład
Cienkościenny pręt skręcany jest wykonany z cienkiej blachy.
Dane: grubość blachy g
promień linii środkowej ścianki r.
Wyznaczyć stosunek sztywności oraz wytrzymałości na skręcanie pręta
przed i po wykonaniu spoiny
r
g
Ms
Ms
2r
spoina
r
linia
środkowa
l
ścianki
h = 4r + 2Ąr
W przypadku przekroju otwartego, długość linii środkowej :
1 2
Js1 = g3h = (2 + Ą )g3r
3 3
1 2
2 2
Ws1 = g h = (2 + Ą )g r
3 3
W przypadku przekroju zamkniętego, uwzględniając, \
e grubość ścianki
jest stała:
Ws2 = 2A0g = 2(Ą + 4)gr2
2 2
2
4A0 g 4(Ą + 4) r4g 2(Ą + 4)
Js2 = = = r3g
h 2(2 + Ą )r 2 + Ą
poniewa\
:
A0 = Ąr2 + 4r2
Stosunek sztywności i wytrzymałości pręta cienkościennego o przekroju
otwartym i zamkniętym wynosi:
2 2
Js1 1 2 + Ą g2 g
�ł �ł
= = 0,17�ł �ł
�ł �ł �ł �ł
Js2 3 Ą + 4 r2 r
�ł łł �ł łł
Ws1 1 (2 + Ą ) g g
= = 0,24
Ws2 3 (Ą + 4) r r