Skręcanie
1
Skręcanie
T. Godycki-Ćwirko, Mechanika betonu, Arkady, Warszawa 1982
Skręcanie - Literatura
T. Godycki-Ćwirko  rozdz. 10 (tom I) Konstrukcje betonowe,
żelbetowe i sprężone, Komentarz naukowy do normy PN-B-03264
ITB Warszawa 2005
T. Godycki-Ćwirko, Mechanika betonu, Arkady, Warszawa 1982
Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i
sprężonych wg Eurokodu 2  praca zbiorowa pod red. M.
Knauffa, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, 2006
A. A
apko, B.Ch. Jensen, Podstawy projektowania i
algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych, Arkady 2005
Norma żelbetowa PN-B-03264:2002
Żelbetowa norma europejska EN-1992-1-1:2004,
oraz PN-EN-1992-1-1:2008
A. Ajdukiewicz, Eurokod 2-Podręczny skrót dla projektantów konstrukcji
żelbetowych, Stowarzyszenie Producentów Cementu -Polski Cement, Kraków 2009
1
Skręcanie
Element skręcany o przekroju kołowym w fazie sprężystej  badania
eksperymentalne Coulomba  1784 r
1826 r  równania teoretyczne opracowane przez Naviera
Współcześnie  T.T.C. Hsu  Torsion of reinforced concrete 1984
Trzpień w kierunku podłużnej osi z miał długość l i średnicę d. Wydzielony z pręta
wycinek o długości dz poddany skręcaniu doznał deformacji przy założeniu dwóch
warunków kompatybilności:
1. kształt przekroju poprzecznego po skręceniu pozostaje niezmienny
2. przekrój płaski przed i po skręceniu pozostaje płaski ( nie ulega spaczeniu ).
Rys. 10.1. Równowaga i kompatybilność okrągłego skręcanego trzpienia [11]
T. Godycki-Ćwirko  rozdz. 10 (tom I) Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone, Komentarz
naukowy do normy PN-B-03264 ITB Warszawa 2005
Wykorzystując te dwa warunki
kompatybilności, odkształcenie
ścinania w odległości r1 możemy
opisać równaniem
r1 �� df�
g� =�
(10.1)
dz
Określając kąt skręcania na jednostkę długości trzpienia przez
q�=df�/dz otrzymamy
g� =� r1 ��q� (10.2)
Odkształcalność ścinania ł zmienia się liniowo wraz ze
zmiennością r1 wzdłuż osi podłużnej. Na powierzchni trzpienia
gdzie r1 = r2 występuje g�max=r2��
T. Godycki-Ćwirko  rozdz. 10 (tom I) Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone, Komentarz
naukowy do normy PN-B-03264 ITB Warszawa 2005
2
naprężenie ścinające t� na osi podłużnej może być
uzyskane z zależności naprężenie-odkształcenie
stąd:
E
G =�
gdzie G- jest modułem sztywności:
2 �� (1+� )
g� =� r1 ��q�
Podstawiając g� ze wzoru (10.2) do równania (10.3)
t� =� G ��g�
otrzymujemy:
t� =� r1 ��G ��q�
(10.4)
Maksymalne naprężenia ścinające występujące na powierzchni
wynoszą:
t�max =� r2 ��G ��q�
Moment skręcający T uzyskuje się z warunku równości
równowagi wewnętrznej i zewnętrznej  rys. 10.1c.
T =� �� r1 �� dA
(10.5)
��t�
Podstawiając t� z równania (10.4) otrzymamy
T =� G ��q�
1
��r2dA
(10.6)
Definiując z kolei moment biegunowy jako
I =�
p 1
��r2dA
otrzymamy:
(10.7)
T =� G �� I ��q�
p
Podstawiając G��q� z równania (10.7) do
t� =� r1 ��G ��q�
(10.4)
otrzymamy:
T �� r1
I ��t�
t� t� =�
p
G ��q� =� T =�
I
p
r1 r1
3
T �� r1
t� =�
I
p
Natomiast maksymalne naprężenia
na powierzchni pręta :
T �� r2
t�max =�
I
p
Rys. 10.2. Naprężenia styczne od skręcania
Biegunowy moment bezwładności dla pręta o przekroju kołowym:
r=�r2
4
r2 p� �� d4
I =� r12 �� dA =� 2��p� r13 �� dr1 =� 2��p� �� =�
p �� �� (10.9)
4 32
r=�0
Biegunowy moment
bezwładności dla pręta o
przekroju kołowym:
r=�r2
4
r2 p� �� d4
I =� �� dA =� 2��p� r13 �� dr1 =� 2��p� �� =�
p 1
��r2 ��
4 32
r=�0
(10.9)
Podstawiając (10.9) do równania (10.7) otrzymamy
p�
4
T =� G �� I ��q�
(10.7) T =� ��G �� d ��q�
p
32
(10.10)
df� f�
q� =� =�
dla jednakowego skręcania na długości l, oraz
dz l
gdzie f� jest kątem skręcania na końcu pręta otrzymamy zależność
4
p� d
ć�
(10.11)
T =� �� G�� �� ��f�
�� ��
32 l
Ł� ł�
Deformacja
skręcanego pręta o
przekroju
poprzecznym
prostokątnym
Rozkład naprężeń
ścinających na ściankach
przekroju prostokątnego
Stan naprężenia w przekroju prostokątnym pręta skręcanego może być
rozwiązany metodą St. Venanta polegającą na znalezieniu odpowiedniej
funkcji naprężeń F� spełniającej równanie:
ś�2F� ś�2F�
+� =� -�2 �� G ��q�
(10.25)
ś�x2 ś�y2
4
W praktyce interesujące nas relacje pomiędzy
momentem skręcającymi T i naprężeniem ścinającym
t�max znajdujemy wykorzystując stabelaryzowane
współczynniki St. Venanata dla skręconych
przekrojów prostokątnych o wymiarze dłuższego
boku y do krótszego x korzystając z równań:
b�
T =� �� x2 �� y ��t�max
k
T
t� =�
y,max
a� �� x2 �� y
Współczynniki St.Venanta
T
do wyliczenia T, t�y,max, t�xmax
t� =�
x,max
patrz tab.10.1
a�2 �� x �� y2
Tablica 10.1
Współczynniki St. Venanta
y/x k b� a� a�2
1,0 0,675 0,141 0,208 0,208
1,2 0,759 0,166 0,219 0,196
1,4 0,822 0,187 0,227 0,185
1,6 0,869 0,204 0,234 0,174
1,8 0,904 0.217 0,240 0,164
2,0 0,930 0,229 0,246 0,155
2,5 0,968 0,249 0,258 0,135
3,0 0,985 0,264 0,267 0,118
4,0 0,997 0,281 0,282 0,0945
5,0 0,999 0,291 0,291 0,0782
10,0 1,00 0,312 0,312 0,0397
100 1,00 0,331 0,331 0,00217
Ą� 1,00 0,333 0,333 0
b�
T =� �� x2 �� y ��t�
(10.29)
max
k
T
(10.30)
t� =�
y,max
a� �� x2 �� y
T
(10.30)
t� =�
x,max
a�2 �� x �� y2
Współczynniki St.Venanta
do wyliczenia T, t�y,max, t�xmax
patrz tab.10.1
5
Z naprężeniami stycznymi wywołanymi działaniem
momentu skręcającego skojarzone są główne naprężenia
rozciągające i ściskające (s�1 , s�2) nachylone do osi
podłużnej pod kątem 45��. Po przekroczeniu przez główne
naprężenia rozciągające s�1 wytrzymałości na rozciąganie,
powstają na obwodzie belki rysy ukośne w kształcie spirali
nachylonej do osi podłużnej pod kątem 45��
SZTYWNOŚĆ
Skręcanego przekrój żelbetowy
6
Rys. 10.19. Odkształcenia skręcanego przekroju kołowego zbrojonego spiralą
E
T
KT ,I =� G �� I =� (10.41) gdzie G =�
p
q�
2 �� (1+� ) = 0,2.
Ec
Gc =�
2 �� (1+�c)
Sztywność skręcania betonowego pręta o
przekroju kołowym wynosi @� 0,35 Ec
4
T �� r2 p� �� r2
Gc �� I =� =� Gc ��
(10.42)
p
e�1 -� e�2 2
3
p�r2
T =� �� Gc �� (e�1 -� e�2)
(10.43)
2
Jeżeli zbrojenie spiralne jest nachylone do osi elementu pod
kątem a� = 45��, a przekrój poprzeczny przecina n spiral
rozmieszczonych na okręgu opisanym promieniem ra,
wówczas odkształcenie stali przy odkształceniu jednostkowym
e�1 zwiększą moment skręcający o:
n �� Ast �� ra ��e�1 �� Es �� ra
D�T =�
r2 �� 2
Oznaczając stopień zbrojenia spiralą nachyloną pod kątem a� = 45��
przez
gdzie: Aspir = n �� Ast
Aspir n  ilość
r� =� �� 2
przeciętych przekrojem
o�
T 45 Ac
poprzecznym spiral
Ast  przekrój
poprzeczny pręta spirali
otrzymamy sztywność
4 2
Gc ��p� �� r2 �� Gs ra ł�
ę�1+� ś�
KT ,I =� �� r�T 45o� �� �� (1+�s) ��
2
2 Gc
ę�
r2 ś�
�� ��
(10.45)
gdzie: Gc , Gs -� moduł ścinania,
odpowiednio dla betonu i stali
s -� współczynnik
Poissona dla stali, s = 0,3
7
wzór na sztywność skręcania w
fazie II wg Hsu
KT,II =� 0,021�� (r�l +� r�w) �� (Gc �� I )
p
(10.46)
gdzie: r�l + r�w - sumaryczna moc zbrojenia w [%], przy czym
r�l = Asl /Ac
r�w = Asw �� uk/s��Ac
uk -� obwód zamkniętego strzemienia
Ip -� biegunowy moment bezwładności
przekroju betonowego w [cm4]
Rys. 10.21. Spadek sztywności skręcania przekrojów prostokątnych o
różnych kształtach i stopniach zbrojenia na skręcanie wywołany
zarysowaniem wg Leonhardta [20]
8