DSCF2148

126

6.2.2. Rozkład normalny

Rozkład normalny Jest podstawowym rozkładem analizy statystycznej.Równanie krzywej normalnej określającej częstość y zaobserwowania różnych wartości x, ma postać:    r

(6.8),

-i “ łrt*

y = BK ó>/2?

gdzieś p - wartość średnia,

ó - odchylenie standardowe.

Rys. 6.1. Przebieg krzywej rozkładu normalnego y = f(x) dla rożnych wartości 6

Przebieg krzywej normalnej przedstawiono na rys. 6.1. Całkowite pole pod krzywą jest równe jedności. Natomiast prawdopodobieństwo zaobserwowania dla zmiennej o rozkładzie normalnym wartości równej lub mniejszej od wartości określa pole pod krzywą normalną od^-00 do x^

2¹ 1 (K-Ufi

P(x«ł) i —3— J _e *^ł 'ćbc    (6.9)

6 42i

iaźdą wartość x możemy wyrazić ilością jednostek odchylenia standardowego, o którą ta wartość odchyla się od średniej

x = ji + ż *(j    (6.10)

gdzie i z - zmienna standaryzowana, którą możemy określić jako:

1 = tejyg¹    (6.11).

Natomiast prawdopodobieństwo wystąpienia odchylenia od średniej tak dużego Jak jest wyrażonej

(6.12)

KM i H

Przy opraoowywanlu    rozkładzie normalnym,| -2*1.1 - P(z)] wy

raża s^męisjŁcjHi^tarawdbpoaobieństwo dla wyników w przedziale §1 || , a wyrażenie 2[l - E‘(z)], oznacza się zazwyczaj Jako O. 1 nazywa alę poziomem istotności testu statystycznego.

16.2.3* Test t - Studenta

Rozkład t — Studenta odgrywa dużą rolę w zastosowaniach związanych z rozkładem normalnym w przypadku, gdy nieznane Jest odchylenie standardowe.

Na rysunku 6.2 przedstawiono wykres gęstości prawdopodobieństwa zmiennych losowych o rozkładzie Studenta i rozkładzie normalnym, W przypadku liczby pomiarów dążących do nieskończoności, rozkład t- Studenta Jest |zbieżny do rozkładu normalnego.

Rys. 6.2. Przebieg krzywych rozkładu normalnego i t - Studenta Zmienna standaryzowana dla rozkładu t - Studenta ma postaći

t i 1 l9    (6.13)

b(x)

gdzie: ji    - prawdziwa średnia,

x    - średnia arytmetyczna,

s(x) - odchylenie standardowe średnich z próbek o llcznoścl n. Wartość prawdziwej średniej możemy wyliczyć z zależności:

F = |    ^(6,1M

Wartości zmiennej standaryzowanej możemy odczytać z tablicy 6.2 dla danego poziomu istotności testu <x oraz liczby stopni swobody k = n - 'l.

Przykład 6.1

Ustalmy 95% przedział ufności (a = 0,05) dLla wartości współczynnika spęczenia warstwy skrawanej k„__i = f(v) według danych zawartych w tabli-cy ;6.3-