DSCF2531

czyli, po zlogarytmowaniu

a więc

liii 8 i

n >-—«7,3

lg0,9031

n=8.

2) Wskazane już było w zadaniach poprzednich, że przy obliczaniu prawdopodobień-stwa w losowaniach bez zwrotu stosować można wzory kombinatoryki. Otrzymujemy więc

P(E)=

czyli

20! (22—w) !    ,

(20-n)! 22 !^<5'

Po uproszczeniu mamy

(21—Ti) (22-Ti) .

-r——-<4-

21-22 ²

Rozwiązanie prowadzi do nierówności kwadratowej:

n²—43/1+231 <0,

43—s/925

ⁿi =-1--6,5,

czyli

§ 4.8. Zadania z kartami

Przykład 4.8.1. Z talii 24 kart losujemy jednocześnie trzy karty. Obliczyć prawdopodobieństwo p tego, że otrzymamy dokładnie jednego asa.

Rozwiązanie. Wszystkich możliwych i równoprawdopodobnych zdarzeń jest tyle, ile jest kombinacji bez powtórzeń z 24 kart po trzy, tj. C|₄. Liczbę zdarzeń sprzyjających obliczamy w sposób następujący:

Jednego asa spośród czterech możemy wybrać C\ sposobami. Ponieważ dla każdego ustalonego asa dwie pozostałe karty można wybrać z nieasów Cf₀ sposobami, to wynika stąd, że wszystkich możliwych sprzyjających zdarzeń jest C\ • Cf₀. Wobec tego

iii

U₂0_ 95 ¹_nc 253 ~^0,375 ‘

12 kart siłą rzeczy też będzie miało skład: 6 czerwonych i 6 czarnych kart). 12 kart spośród 24 można wybrać Uff sposobami. Sprzyjające będą te sposoby, w których z 12 czerwonych wybierzemy 6 i z 12 czarnych wybierzemy 6 kart. 6 czerwonych kart z 12 można wybrać C?₂ sposobami i analogicznie 6 czarnych kart z 12 można wybrać C\₂ sposobami. Ponieważ do każdego układu sześciu czerwonych kart można pozostałe 6 czarnych kart wybrać C\₂ sposobami, to wszystkich sprzyjających układów jest Cj₂*Cf₂—(C czyli

PM

(Cii)²

m

(12!)⁴

(6!)⁴*24!

*0,316.

Przykład 4.8.3. Wykazać, że prawdopodobieństwo p otrzymania przez gracza A dokładnie k asów (Jc=0,1,2, 3,4) przy rozdaniu 52 kart pomiędzy czterech graczy jest równe prawdopodobieństwu p_v, iż w 13 kartach losowo pobranych z talii będzie k asów.

Rozwiązanie. Zdarzeniu polegającemu na otrzymaniu przez gracza A dokładnie k asów sprzyja każdy ^-elementowy układ asów brany pod uwagę łącznie z (13—^-elementowym układem pozostałych kart tego gracza. Układów takich jest

Pierwszy z czynników jest ilością kombinacji k asów spośród całego ich zbioru, tj. zbioru 4 asów. Drugi czynnik jest ilością kombinacji pozostałych 13—A: kart spośród 48 kart, wśród których nie ma asa.

Drugi gracz może otrzymać przypadające mu 13 kart, już tylko spośród 52—13=39

• /³⁹\

kart, (.,) sposobami.

\¹³/ /26\ Trzeci gracz otrzymuje karty LJ)

sposobami, gdyż liczba pozostałych do rozda

nia kart zmniejszyła się znowu o 13. Ostatni gracz otrzyma resztę kart, tzn. jedną możliwą ich kombinację.

W rozpatrywanych tu przypadkach bierzemy pod uwagę tylko sam skład kart u gracza, a nie uwzględniamy różnych możliwych kolejności rozdania tych samych kart. Uważamy bowiem, że istotne w tym. zagadnieniu jest posiadanie określonego składu kart, a nie ich różne rozlokowanie.

Zdarzenie, o którym mowa w pierwszej części zadania, realizuje się przez fakt posiadania przez gracza A dokładnie k asów i 13—A: innych kart oraz przez jednoczesne rozdanie pozostałych kart między resztę graczy. W związku z tym liczba zdarzeń sprzyjających jest równa

H Liczbę wszystkich możliwych zdarzeń otrzymamy rozumując w sposób analogiczny do wyżej podanego, i tak:

1

Przykład 4.8.2. Talię 24 kart podzielono po stasowaniu na połowę, pbliczyć prawdopodobieństwo p tego, że w obu częściach znajdą się równe ilości czarnych i czerwonych kart.

Rozwiązanie. Zadanie sprowadza się do obliczenia prawdopodobieństwa, że na 12 losowo pobranych kart 6 będzie czerwonych i 6 czarnych (w tym przypadku‘pozostałe