DSCN1099 (2)

1.4. a) Wskazówka. Każdy z mianowników wyrazić za pomocą I logarytmu o podstawie 2, a następnie przekształcić wyrażenia. I Odp.-. 3. b) Odp.: 3.

1.5. Zauważmy, że dla a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 zachodzi

a + b + c + d .

fl

b c + d ,

■■ yjabcd

• ^ "ł* y

na podstawie nierówności —-— ^ _v/xy (patrz zad. 1.8).

Czyli

10^5 + 108,6 + 108,7 + log,8 _>    7^ =

= ^108*8 = ^1

> 1,1, bo (1, 1)* = (1, 21)² = 1,4641.

y x

Zatem

log^ 5 + log₅ 6 + log, 7 + log, 8 > 4,4.

1.6. a) Wskazówka. Należy zauważyć, że

1 , 1 ,    ,    1 _    1    i    1

^X~ 10^{2 +} U^{2 +} “ ⁺ 100²¹* 1011 ⁺ 11 • 12⁺ ~ ⁺ 100-101 ^-

⁼ (li " n) ⁺ (n ~ A) ⁺ “ ⁺ (l5o “ I5l) ⁼ ^ “ 15T •

Ale

1

1

10 101^> ló '

1

100^:

9_

10

więc x >

100'

Analogicznie rozumując wykazujemy, że x <

2 4 6

b) Niech x =

120 ' 121 ’

y =:

3 5 7 1 3 5

119

2 4 6 “‘120'

Porównując kolejno czynniki powyższych iloczynów stwierdzamy, że

2    1 4    3 6    5    120    119

3^>2’5^>4’7^> 6’’"’121 ^> 120'

Wobec powyższego, mamy x > y i x > 0, stąd x² > xy.

Ale

| ₌1.2 3 4    119 120 _ 1 _/lV

■    2 3 4 5 ' 120 121    121    \11/

^xJ>(n)^J’^stądx>n-

c) Wskazówka. Rozumowanie analogiczne jak w przypadku b).

1.7.    a) Wskazówka. Skorzystać z tego, że dla dowolnych liczb

rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność (a - b)² > 0. b) Wskazówka. Skorzystać z a).

1.8.    Wskazówka. Skorzystać z zadania 1.7.

1.9.    Wskazówka. Rozważyć iloraz

a^ab^b a^b-b“

i wykazać, że iloraz ten nie jest mniejszy niż 1.

1.10.    Funkcje y — a^x i y = x“ są rosnące dla a > 1, a > 0.

Załóżmy zatem, że a^f > b“ oraz a < b.

Wtedy 6* > a" > cf, co jest sprzeczne z założeniem.

1.11.    Na podstawie zadania 1.8 stwierdzamy, że nierówność jest prawdziwa dla n = 2. Teraz udowodnimy, że

(*) jeśli nierówność jest prawdziwa dla n = k (k = 2,3,4,...), to jest również prawdziwa dla n = 2k.

Mamy:

■ a,... a, • a,.

~ J\/^a\    s/^at+\ 'B|łf-^aa ^!

^/a, -a₂... a_k + ^/ajTi' ^a» + 2 - °2i

a, + a, + ... + a_k a_tti + a_tł;- + ^aa -fc    ⁺    *_

35