DSCN1117 (2)

, S₀ jest sumą ciągu geometrycznego,

Każda z sum S„_,, S„_ ₂. ... w którym

fai =3

)q =10

Ic    3(10*'*'¹ — 1)

“    9    •

Z kolei sumę S można przedstawić w postaci:

S = 5[10" + 10"^_1 +... + lO¹]-^.

„ 3no(iop -1) J

Zatem S = -l----nj.

b) Postępując analogicznie jak w a) otrzymujemy:

3.13. Rozważmy funkcję

^{/W =} (x + 1) (x + 2)'

Łatwo stwierdzić, że

1 1 1

x+l x + 2*

-l(rn-rn)

4

(x +l)(x + 2) wobec tego 1

f -■-

M)

n +

r=i (r + 1) (r + 2)

1 1

_{f +}    3₊...₊

■ 1 "1 = f —— y —

r =I r + 1    _rr!I r +:

(1 ^{1 1} \

L? ⁺4 ⁺ ■'* % + 27 ^_ 2(n + 2) *

b) Postępujemy analogicznie jak w a) przyjmując: i    i    i

(x + 1) (x + 4)    3(x + 1)    3(x + 4)

/(*)

3.14. Jeżeli ciąg (aj ma 50 wyrazów równych 1, to suma wszystkich jego wyrazów równa się 0.

Wystarczy więc na przykład jako ciąg (hj wziąć ciąg dwu-wyrazowy, którego jednym wyrazem jest 1, a drugim — 1.

Pozostałe wyrazy utworzą ciąg (cj. W tym przypadku zadanie ma wiele rozwiązań.

Przypuśćmy teraz, że ciąg (aj ma n wyrazów równych J, przy czym n > 50. Wtedy wyrazów równych (— l)jest 100-n, zaś suma wyrazów ciągu (aj równa się 2n — 100.

Wobec tego suma wyrazów ciągu {b_k) i (cj powinna być równa n — 50.

Ciąg (b_k) możemy utworzyć wybierając te n - 50 wyrazów ciągu (aj, które są jedynkami.

Wtedy ciąg (O będzie miał 50 wyrazów równych 1 i 100 — n wyrazów równych (—1).

Jak łatwo sprawdzić suma wyrazów każdego z ciągów (hj i (cj będzie równa (n — 50).

3.15. Nietrudno zauważyć, że pierwszy wyraz a, i różnica r ciągu (aj są liczbami naturalnymi. Gdyby bowiem liczba r była liczbą cał

mielibyśmy

kowitą ujemną, to dla n >

a„ = Oi + nr > a, +j^r = 0.

Udowodnimy, że każdy wyraz ciągu geometrycznego b_H = a_x • (1 + r)ⁿ jest wyrazem ciągu (aj.

Rzeczywiście, z dwumianu Newtona

b„ = a_x + Ci) a_tr + Qa_xr² +...+    = ^ai + rk = a_k+i.

gdzie k = (i)a_l + (J)flir + ... + C)a,rⁿ *.

3.16. 1) Załóżmy, że najmniejszą z liczb jest a, zaś największą d. Z treści zadania wynika, że b_d a c*

h    d    b-a d-c

skąd--1 =--1, czyli ---,

a    c    a c

więc

c    d — c

a    b — a

Z przyjętego założenia wnioskujemy, że:

I

91