101

r

Ciąg geometryczny nieskończony

Odpowiedź^

Dla x = — ,x = — suma ciągu wynosi 0,8.

Dla.r e (0, 1) u (2, 3) ciąg jest zbieżny.

Teraz rozwiążemy parę zadań trudniejszych, które możesz spotkać w zestawach maturalnych.

ZADANIE 5

Rozwiąż równanie:

x² + 2x³ + 4x⁴ + ... = lim

1-3 n

2-9/1

Rozwiązanie:

Najpierw zajmiemy się prawą stroną równania

_L    I_3»    ]_?

lim ¹ lⁿ = — = lim n n ₌ lim -= Ą = l=~

9

n i

l -9 0

2-9n „x    2 9n »-« 2    -9    9    3

n n

Teraz zajmiemy się lewą stroną równania.

x² + 2x³ + 4.v⁴ + ... jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

2x³

Znajdujemy iloraz tego ciągu q = —— = 2.v, x ^ 0

Lewą stronę możemy zastąpić sumą, wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1, czyli

|2x| < 1

-1 <2x<    1    1:2

1    1    .

--< X    <    —    1    X i⁴ 0

2    2

inaczej \q\ < 1 wtedy, gdy x e    ^ j \ {0}

Zamiast lewej strony równania wpisujemy

1 - q

czyli

101