DSCN1122 (2)

Na przykład:

k₄ =

“8 =

2 1 3*2’

2- 4-6

3- 5-7

«6

1

4'

2- 4 1

3- 5*3’

Przykłady te sugerują* że

2-4-6-...-(2k — 2) 1 _Jf ,

^U" ⁼ 3-S-7-...-(2ifc-T)-r^dlafceAf+-

Metodą indukcji wykazujemy, że powyższa hipoteza jest prawdziwa.

Stąd

2 • 4 • 6 •• (2k|SJ 2) 1 3• 5•...(2/c — 1)

^u2k-i — 0 oraz dla fceiV₊.

3.35. Wskazówka. Dowieść metodą indukcji* że

a"⁺¹ _6"⁺¹11

f-r— dla a±b,

u =1 ^a~^b

■ 1(ti + 1)0” dla a = 6.

§ 4. Rozwiązania i odpowiedzi

4.1. a) Wskazówka. Grupując odpowiednio wyrazy lewej strony równania otrzymujemy równanie (x² - 16x)² - 2(x² - 16x) - 63 = 0.

Po wprowadzeniu zmiennej t = x² — 16x otrzymujemy równanie kwadratowe t² — 2t — 63 = 0.

Xj = 8 + y/l3; x₂ = 8 — x₃ = 8 + _N/57;

= 8 -^57.

b)    Wskazówka. Wprowadzić zmienną z = x³ — 3x. x, = 3; x₂ = x₃ = — 1; x₄ = 2.

c)    Wskazówka. Wprowadzić zmienną u = x² + 2x.

=x₂= -1; x₃ = — 1 + _n/3; x₄=-1-_v/3; x₅ = -1 + x₆ = — 1 — y/2.

4.2.    Po podstawieniu x = y =£0, dane równanie przyjmuje postać 1) y⁵ + y³ + l=0.

Rozważmy funkcję f:R-*R określoną wzorem

fiy) = y⁵ + y³ +1 •

Ponieważ/'(y) = 5y⁴ + 3y², więc/'(y) > 0 dla każdego y 6 R \ {0}. Zatem / jest funkcją rosnącą. Ponadto / jest funkcją ciągłą i/( — 1) < 0,/(0) > 0. Zatem równanie 1) ma w przedziale (— 1; 0) dokładnie jedno rozwiązanie. Wobec tego dane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

4.3.    Wskazówka. Dziedziną równania jest przedział <—1; oo>. Łatwo zauważyć, że żadna z liczb przedziału <-l ; 0) nie jest rozwiązaniem równania. Również nie może być rozwiązaniem równania żadna z liczb przedziału <6 ; oo). Zatem rozwiązania równania (jeśli istnieją) należą do przedziału (0; 6). Przekształcamy równanie do postaci x² + x - 36 = - I2y/x + 1 i rozpatrując odpowiednie funkcje stwierdzamy, że dane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie należące do przedziału (0 ; 6). Rozwiązaniem tym jest liczba 3.

4.4.    Wskazówka. Dziedziną równania jest zbiór

D = (0 ; 1) u (1 ; oo). W zbiorze D równanie można zapisać w postaci:

2    3    n

1) :--h -z-rj + ••• +    + - = 8, Stąd

logx    (logx)²    (logx)" ¹

2    3    n _ _8_

(logx)^{2 +} (logx)^{3 + +} (logx)^{B +}    logx f

Odejmując od 1) równanie 2) i przekształcając otrzymane równanie otrzymujemy

1 1 1 10 (logx)^{2 +} (log*)^{3 +    +} (logx)"⁺    logx

Równanie 3) rozwiązuje się stosunkowo łatwo

x = 10,/Ia

4.5.    Podstawiając y = log₃x, przy założeniu, że xeR+, otrzymujemy równanie log₂ (1 + \f^^y) — y*

101