DSCN1134 (3)

stąd

\AB\ \BD\ _ \ADI \AM\~\AD\    \MD\'

więc

\BD\

(1) \AB\ = \AM\-'^.

Ale \AD\² + \BD\'\MD\, czyli

\AD\² i 3\MD\², więc

2)    \AD\ = Jl\MD\.

\BD\

Podstawiając 2) do 1) mamy \AB\ = \AM\ * ^j, czyli

3)    ₌

Stąd

MFI    2^|i4M|    V?

y3|-4M| Jl\AM\ 2 '

Podobnie wykazujemy prawdziwość pozostałych równości.

5.11.    Niech a i P będą miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko boków aib,a. dwusieczną oznaczmy literą d. Z twierdzenia sinusów

d    a

sin/? ~~ sin(180° — 45° — p)'

Zatem

b

A—    sinj? _    ^/a² + b² _abyj2

sin(a + 45°) ” ^a _a + b ~ ~ a + b'

2 y/a² + b²

5.12.    Stosując dwukrotnie tw. sinusów (dla trójkątów ACD i BDQ mamy

\CD\

\AC\

sin| < A\ sin | < ADC\ 1 \CD\ __ \BC\ sin| < B| sin| 4: ADC\ *

| Stąd, po pomnożeniu stronami obu otrzymanych proporcji, otrzymujemy

_\CD\²    |i4C| • |BC|

sin|<>4|*sin|<B| sin²|<i4BC|

Zatem

|CD|² = \AC\ • |BC| • Dalej mamy

sinHMI - siniał: B| sin²Ki4BC|

stąd

sin| < ADC | = sin(| < /1| +    < C|) = sin (|* B| 1 |j | C|).

Wobec tego

sin|<i4|'sin|<B|

0<

sin²|<i4DC|

sin(|<v4| + ||<C|) sin(|<B| + i|<q)

< 1.

W takim razie

\CD\² < \AC\ • |BC|, co należało wykazać.

5.13. Niech prosta, o której mowa w treści zadania, przecina bok AC w punkcie D, zaś bok BC w punkcie E trójkąta ABC.

Wtedy to \AD\:\DC\ = k,

\DC\ = \AC\ - \AD\,

więc

\AD\

\AC\ - \AD\ i

r .    . *MC|

MCI 1 + fc‘

a stąd

125