DSCF6541

38

Współczynniki tij będziemy nazywać wagami pomiarowymi i oznaczać przez Wj, a średnią:

= (⁴-^,s) i    i

nazwiemy średnią ważoną. Niepewności maleją przy wzroście długości serii: Pj = <r/-Jńj    (4.16)

(wszystkie wyniki x₍, pochodzą z tego samego zbioru o wariancji a²). Dzięki temu wagi oraz niepewność w znajomości średniej można przedstawić w postaci:

(4.17)

(4.18)

Wj = nj = a² jSjgi

a _ a

SI iĘⁿ)

Wartość średnią i niepewność wartości średniej zapiszemy ostatecznie w zależności od wielkości bezpośrednio obliczanych na podstawie wyników pomiarów:

x±s_t

(4.19)

4.2. Niepewność w znajomości wielkości mierzonej pośrednio

Na ogół interesująca nas wielkość Y nie jest bezpośrednio dostępna

pomiarom. Zamiast tego mierzymy inne wielkości: X_lt X₂.....X_n, a dopiero

potem obliczamy wartość badanej wielkości Y, będącej znaną funkcją

wielkości mierzonych: Y = Y(X_l, X₂.....XJ. Na przykład obliczenie gęstości

p substancji uformowanej w kształt prostopadłościennej kostki wymaga pomiaru masy kostki oraz długości jej trzech krawędzi a, b i c. Dopiero

...    .. w

wtedy otrzymamy wynik: p = —.

abc

Przypuśćmy, że każdą z wielkości X_v X₂.....X„ zmierzono wielokrotnie,

co pozwoliło obliczyć wartości średnie oraz niepewności: x₂ ± Ax_u } x₂±Ax₂.....x_h±Ax„, a następnie wartość średnią wielkości poszukiwanej

oraz odpowiednią niepewność pomiarową: (J> + Ay). Zauważmy, że wartość średnią można rozumieć dwojako: albo jako y, = / (x_l, x₂,    x_n) bądź też

jako y_(u) =- YJ(^x<P, xf.....x|₁^,)). Ponieważ w ogólnym wypadku spełniona

jest nierówność: /(x„ x₂, .... ^^tf(x_l,x₂, ..., x_n), obie formuły dają różne wyniki, przy czym różnica zmniejsza się w miarę malenia niepewności pomiarowych. Ze względu na to, że w drugim wypadku nie jest możliwe skompletowanie odpowiednich zestawów wyników (x'{^>, x^li\ x^<„‘^>), jeśli serie pomiarowe odnoszące się do różnych zmiennych mają różne długości, a w przypadku jednakowych długości brak jest jednoznacznych kryteriów doboru zestawów, wybieramy wariant pierwszy.

W najprostszym przypadku funkcji jednej zmiennej y = y(x), dla niewielkiej niepewności pomiarowej Ajc w dobrym przybliżeniu (tj. takim, z jakim można utożsamiać styczną i sieczną na rys. 4.2) spełniony jest związek:

(4.20)

dy

Ay « dy » — Ax dx

Rys. 4.2. Zależność niepewności Ay w ocenie wielkości y = y(x) od niepewności Ax

4.2.1. Przykład (potęgowa zależność pomiędzy zmiennymi)

Dla funkcji potęgowej y = jc“ otrzymujemy z (4.20): Ay = otx“^_1Ax, albo inaczej: óy = ctóx, gdzie óy = Ay/y i 5x = Ax/x oznaczają niepewności względne. Tak więc w przypadku funkcji potęgowej niepewność względna w znajomości wielkości obliczanej wzrasta lub maleje zależnie od wartości wykładnika.