DSCF6603

162

r

golowych rachunków, a jedynie w oparciu o znane reguły formalne. Powszechne zastosowanie znalazł operator nabla (gradient), oznaczany symbolem V lub grad. Operator ten, zapisany w prostokątnym układzie współrzędnych, ma postać:

0)

(2)

| ppgjM    -r d

dx dy dz) dx dy~^ dz gdzie 7, ~j, k oznaczają wektory jednostkowe (wersory).

Działając operatorem V na skalar S otrzymamy wyrażenie:

- (dS dS dS\ '$ dS - dS _T dS

^VS-\toc’^-y’Tz) ^{= ,} WM' W\ Tz czyli wektor o składowych będących pochodnymi cząstkowymi skalara 5.

Zupełnie formalnie można wykonać szereg operacji algebraicznych z operatorem V, korzystając ze znajomości działań na wektorach. Sprawdźmy np. jak wygląda iloczyn skalarny operatora V i wektora w:

i dw_r dw_v dw,

i ^wz) = -d*+ ^ + —

dx

dy dz

(3)

V ■ w nazywa się „dywergencją wektora h>” i oznacza przez div w.

Dywergencja jest skalarem, podobnie jak wynik iloczynu skalarnego dwu operatorów nabla:

d d d | 11 d d \ d² m d²

⁺ dzW ⁽⁴⁾

v-v = v² =

dx dy dz J \dx dy dz

dx-

Operator taki przyjęto oznaczać symbolem V² i nazywać operatorem Laplace’a (laplasjanem).

3. Zarys teorii

Rozpatrzmy pole wektorowe, np. pole wektora natężenia pola elektrycznego E. Weźmy pod uwagę element objętości V, ograniczony powierzchnią S. Strumieniem wektora E przez powierzchnię S nazywamy całkę:

jEdS = $E_ndS    (5)

s    s

gdzie E_n oznacza składową wektora E prostopadłą do powierzchni S.

Można wykazać, że w przypadku małego elementu objętości AV zachodzi jfjąztk:

j£„dS = (V-£)A7    (6)

s

Widać stąd, że dywergencję można określić jako stosunek strumienia «ktora „wypływającego” z małej objętości AV do tej objętości.

Wyobraźmy sobie, że powierzchnia S (niech to będzie dla uproszczenia ^wierzchnia kuli) otacza ładunek elektryczny q (rys. 47).

Natężenie pola elektrycznego na powierzchni kuli wyraża się wzorem:

(7)

E

Rys. 47. Pole ładunku punktowego

(9)

4tie₀ r²

a strumień pola przez powierzchnię S:

E S = -r—    ‘47rr² =—    (8)

47t fin r

Jeśli wypadkowy ładunek wewnątrz powierzchni S jest równy zeru, strumień również będzie miał wartość zerową. Przypadek ten opisywany jest przez związek wynikający te wzoru 7:

VE = 0

Jest to jedno z równań Maxwella, w tym wypadku odnoszące się do pola elektrostatycznego w próżni. Pole elektrostatyczne jest polem potencjalnym, tzn. istnieje taka funkcja ę, zwana potencjałem, że:

E = —Vę>    (10)

Z dwu ostatnich związków otrzymamy:

V • V<p = A<p = 0    (11)

Równania 9-11 odnoszą się do przypadku umieszczenia elektrod w próżni. Rozpatrzmy teraz stacjonarne pole elektryczne w ośrodku przewodzącym, np. w elektrolicie. Gęstość prądu jest wówczas proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E:

j = aE

gdzie a jest przewodnością ośrodka.

(12)