dupa0041

Przy niewielkiej liczbie obserwacji ograniczamy się jedynie do wyznaczenia mediany.

W szeregu rozdzielczym po ustaleniu pozycji kwantyla, czyli numeru odpowiedniej jednostki, na podstayyic szeregu liczebności skumulowanych, odnajdujemy przedział, w którym ta jednostka się znajduje. Jeżeli mamy do czynienia z szeregiem rozdzielczym punktowym, to wartość cechy yvc wskazanym przedziale jest wartością szukanego kyyantyla. Natomiast yv szeregu rozdzielczym przedziałowym yvartość kwantyla oblicza się za pomocą wzorów interpolacyjnych, które zostaną podane dalej.

Kwantylc, tak jak wszystkie miary pozycyjne, mogą być obliczane dla dowolnego typu rozkładu. Najczęściej posługujemy się nimi w analizie szeregów silnie asymetrycznych, z otwartymi przedziałami klasowymi.

Kwartyle

Kwartylc, czyli wartości ćwiartkowe, dzielą zbioroyyość na cztery jednakowo liczne części.

Kwartyl pierwszy Q\ jest to taka wartość cechy, którą posiada jednostka znajdująca się w 7 uporządkowanego szeregu. Móyyimy, że 25% badanej zbiorowości ma wartości nic yyiększc (tzn. mniejsze lub równe) niż Q\, a 75% zbioroyvości ma wartości cechy nic mniejsze niż 0\.

Kwartyl drugi Q₂ jest równy' medianie (Mc) a zatem poloyya zbiorowości ma wartości cechy nic większe niż 0₂, a druga połowa nic mniejsze niż Q₂.

Kyyartyl trzeci Oj jest to wartość cechy, którą posiada jednostka znajdująca się w 7 uporządkoyyancgo szeregu. Stąd też 75% jednostek ma \vartości cechy nic yyiększc niż Oj, a 25% jednostek ma wartości nic mniejsze niż 0_}.

Kwartylc wyznaczamy w taki sam sposób jak medianę. W zależności od rodzaju analizowanego szeregu postępujemy następująco:

. W szeregach szczegółowych, po ich uporządkowaniu, bezpośrednio wskazujemy obserwacje zajmujące pozycje w 7 i 7 szeregu;

. W szeregu rozdzielczym punktowym wyznaczamy pozycje kwartyli¹ jako: poz £7, = 0,25(/i + 1) oraz poz    = 0,75(n + 1),

a następnie opierając się na liczcbnościach skumulowanych znajdujemy przedziały zawierające jednostki o ustalonej wcześniej pozycji. Wartość cechy we wskazanych przedziałach jest odpowiednio wartością Q\ i O3',

• W szeregu rozdzielczym przedziałowym po wyznaczeniu pozycji 01 i (J3, opartej na szeregu skumulowanym, znajdujemy przedziały zawierające jednostki o pozycjach kwartyli, a następnie obliczamy kwartylc, posługując się wzorami interpolacyjnymi:

(?. = x₀ +[0.25-(/; + 1) - A'(x,_, )]c₀ ln₀

(2.26)

03=x_o +[0,75 •(/? + !)-A'(x,„₁)]c₀ /n₀

(2.27)

gdzie: x₀

0,25fn-t 1) 0J5(n+\)

Co

no

-    dolna granica przedziału zawierającego kwartyl;

-    pozycja kwartyla pierwszego;

-    pozycja kwartyla trzeciego;

-    liczebność szeregu skumulowanego do przedziału poprzedzającego przedział zawierający kwartyl;

-    rozpiętość przedziału zawierającego kwartyl;

-    liczebność przedziału zawierającego kwartyl.

77

1

Ody zbiorowość jest liczna, pozycje kwartyli można wyznaczać jako 0,25// i 0,75n