dupa0081

zmiennej niezależnej będą odpowiadać różne co do siły lub siły i kierunku zmiany zmiennej zależnej.

Parametry odpowiedniej funkcji regresji najczęściej wyznacza się metodą najmniejszych kwadratów. Metoda ta opiera się na założeniu, iż suma kwadratów odchyleń zaobserwowanych wartości zmiennej zależnej od wartości teoretycznych, obliczonych na podstawie wybranej funkcji, jest najmniejsza. Założenie zapisuje się w postaci:

£(>'/ -.Pi)² = min dla >>, = f(x,)

E(-^v/ -P;)^{2 =} min dla x, = f(y,)

Analiza obu funkcji regresji jest uzasadniona wtedy, gdy między cechami występuje związek dwustronny, np, między wielkością majątku trwałego i zatrudnienia w pewnej branży przemysłu. Parametry tylko jednej funkcji regresji szacuje się wtedy, gdy związek ma wyraźnie charakter przyczynowo-skutkowy, np. wielkość opadów' i plony ziemniaków'.

3.4.1. Liniowe funkcje regresji

Badając liniowy związek dwóch cech, można oszacować parametry dwóch funkcji regresji:

•    funkcji pokazującej wpływ cechy X na cechę Y

y_l=f(x_i) = a(y) + b(y).x_i    (3.20)

•    funkcji pokazującej wpływ cechy Y na cechę X

x_t=f(y,) = o(x)₊b(x).y_l    (3.21)

Regresja liniowa oznacza, że wraz ze zwiększeniem zmiennej niezależnej o jednostkę wartość zmiennej zależnej zmienia się (rośnie lub maleje odpowiednio

do znaku) o wielkość parametru b. Współczynniki kątowe linii prostych b(y) i b(x) nazywamy współczynnikami regresji.

Sposób wyznaczania wartości parametrów a i b metodą najmniejszych kwadratów objaśnimy na przykładzie liniowej funkcji, opisującej wpływ X na Y (3.20). Dla tej funkcji założenie metody zapiszemy następująco:

(3.22)

Aby znaleźć minimum funkcji F, należy obliczyć pochodne cząstkowe ze względu na a{y) i b{y) i przyrównać je do zera:

_8a[y) = ²X0) -«0')-%)) ■*,)• (-i) = o = 2X (y, - (<y) - Hy) ■ x, ) (-.v,) = o

8F

8F

(3.23)

8 Kr)

Po uporządkowaniu otrzymujemy układ równań:

X » = «•«(.»’) + Ky)Y^xi X^vf.w =«o )X^v. +^)X-v/

/    i    i

(3.24)

Układ ten można rozwiązać dowolnym sposobem, np. za pomocą wyznaczników lub metodą przeciwnych współczynników. Można również korzystać z następujących wzorów:

'XX^v;-X-^viX.U

b(y) = —-7-77-    (3.25)

«X-v/- X*i

I \ i J

(3.26)

2>,-*MX*.

<yh-——^L-

Dla funkcji S) = a(x)+ b(x)-y) układ równań ma postać:

157