CPSW2i3 Fourier

CPS Przekształcenie Fouriera
Wykład 2
Wstęp
Sygnały mogą być reprezentowane w dziedzinie czasu lub dziedzinie
częstotliwości. W zależności od celu analizy wybiera się jedną z
dziedzin wykorzystując odpowiedni aparat matematyczny.
Przedstawienie sygnału w postaci analitycznej powinno zapewnić
uproszczenie obliczeń przy badaniu własności sygnału i
pomiarach jego parametrów oraz umożliwić interpretację
wybranych cech fizycznych.
.
Transformata Fouriera
Przekształcenie Fouriera ma szerokie zastosowanie we
wszystkich dziedzinach od fizyki do analizy
różnorodnych sygnałów.
Wykorzystywane jest przypadku funkcji okresowych
oraz funkcji nieokresowych.
Transformata Fouriera
Zespoloną transformatą Fouriera lub widmem
zespolonym funkcji czasu f(t).
+"
F( j�) = f (t)e- j�tdt
+"
-"
f(t) funkcja czasu
F(j�) - Transformata Fouriera, charakterystyka widmowa.
Jest ciągłą funkcją częstotliwości dla sygnałów nieokresowych .
Transformata Fouriera
Odwrotna transformata Fouriera.
+"
1
j�t
f (t) = F( j�)e d�
+"
2Ą
-"
Transformata Fouriera F(j�) sygnału f(t) jest nazywana widmem
( częstotliwościowym") tego sygnału, gdyż informuje o
zawartości" widmowej ( częstotliwościowej") w transformacie.
Transformata Laplace a
Transformata Laplace a
+"
F(s) = f (t)e-stdt
+"
0
Odwrotna Transformata Laplace a
c+ j"
1
f (t) = F(s)estds
+"
2Ą
c- j"
Podstawowe właściwości
Oznaczmy przez F(.) proste przekształcenie Fouriera,
przez F-1(.) zaś przekształcenie odwrotne.
1) Liniowość: ax(t )+ by(t) "! aX(j�) + bY(j�)
2) Symetria (dualność): X(jt) "! 2Ąx(-�)
3) Przeskalowanie: x(at) "! 1/a X(j�/a), a>0
-j� t
o
4) Przesunięcie w czasie: x(t - to) "! e X(j�)
5) Przesunięcie w częstotliwości (modulacja zespolona):
ej�o t x(t) "! X(j(�ą�o))
6) Modulacja rzeczywista:
x(t)cos(�o t) "! 1/2[X(�-�o)+X(�+�o )]
x(t)sin(�o t) "! -j/2 [X(�-�o)-X(�+�o )]
Transformaty wybranych sygnałów
�(t) 1 1
1
1 2Ą �(�)
s
1
1(t) Ą �(�)+1/(j �)
s
1
1
exp(-a t)
j� + a
s + a
1
1
t exp(-a t)
( j� + a)2
(s + a)2
1
-1
t
s2
�2
sin(�o t) j[�(�-� )- �(�+� )]/2
�o
o o
2
s2 + �o
s
cos(�o t) [�(�-� )+ �(�+� )]/2
o o
2
s2 + �o
Transformaty wybranych sygnałów
Sign(t) 2/(j �) 2/s
�o
�o
sin(�o t)exp(-at)
2
2
(s + a)2 + �o
( j� + a)2 + �o
s + a
j� + a
cos(�o t)exp(-at)
2
2
(s + a)2 + �o
( j� + a)2 + �o
Charakterystyki częstotliwościowe sygnałów
Charakterystykę widmową można zapisać w następującej postaci
Biegunowej Kartezjańskiej
j�(�)
F( j�) = P(�) + jQ(�)
F( j�) = M (�)e
M(�) - charakterystyka amplitudowa
(modułu) �(�) - charakterystyka fazowa
M (�) = F( j�)
�(�) = arg(F( j�))
M (�) = P2(�) + Q2(�)
Q(�)
�(�) = arctg
P(�)
P(�) część rzeczywista charakterystyki widmowej
Q(�) część urojona charakterystyki widmowej
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów rzeczywistych,
dla których stopień wielomianu licznika transmitancji jest niższy
od stopnia wielomianu mianownika, dążą do początku układu
współrzędnych
Charakterystyki logarytmiczne
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa przedstawia
wykres zależności między logarytmem dziesiętnym modułu
transmitancji widmowej M(�) i logarytmem dziesiętnym pulsacji �.
Logarytm z modułu transmitancji widmowej M(�) podaje się w dB.
L(�) = 20 log|F(j�)|=20log M(�)
logarytmiczna charakterystyka fazowa przedstawia natomiast
wykres zależności argumentu Ć(�) od logarytmu dziesiętnego
pulsacji �.
Duże znaczenie praktyczne charakterystyk logarytmicznych
wynika z łatwości określania charakterystyki wypadkowej układu,
złożonego ze znanych elementów liniowych połączonych
szeregowo.
Przykład charakterystyk logarytmicznych
Przykłady
Impuls prostokątny
x(t)=1(t+T) - 1(t-T)
T
+" +T
e- j�t
F( j�) = x(t)e- j�tdt = 1 e- j�tdt =
+" +"
- j�
-" -T
-T
j�T j�T j�T
e- j�T - e e - e- j�T 2 e - e- j�T
F( j�) = = =
- j� j� � j2
Cha-ka widmowa
2 sin(�T )
F( j�) = sin(�T ) = 2T = 2T sin c(�T )
� �T
Cha-ka widmowa
2 sin(4�)
T=4
F( j�) = sin(4�) = 8 = 8sin c(4�)
� 4�
cha-ka widmowa
8
6
4
2
0
�
-2
0 0.5 1 1.5 2
Cha-ka amplitudowa
Dla T=4
sin(�T )
M (�) = 2T = 2T sin c(�T ) = 8 | sin c(4�) |
�T
Cha-ka amplitudowa
M
8
6
4
2
0
�
0 0.5 1 1.5 2
Cha-ka fazowa
0, gdy sin(�T ) > 0
ńł
�(�) =
�łĄ, gdy sin(�T ) < 0
ół
Cha-ka fazowa
200
(Ą )
180
150
100
50
0
�
0 0.5 1 1.5 2
Przykłady
Impuls wykładniczy
x(t)=exp(-2t) 1(t)
+" +" +"
F( j�) = x(t)e- j�tdt = e-2te- j�tdt = e-(2+ j�)tdt
+" +" +"
-" 0 0
+"
e-(2+ j�)t e-(2+ j�)" - e0 1
F( j�) = = =
- (2 + j�) - (2 + j�) 2 + j�
0
Cha-ka amplitudowo-fazowa
1 1 2 - j� 2 - j� 2 �
F( j�) = = = = - j
2 + j� (2 + j�) (2 - j�)
4 + �2 4 + �2 4 + �2
2
P(�) =
Nyquist
4 + �2
Q
0.05
-�
�=2
0
Q(�) =
0
4 + �2
P
-0.05
-0.1
� 0 2 "
-0.15
1 1 -0.2
P(�) 0
2 4
-0.25
-1
�=2
Q(�) 0 0
4 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Cha-ki części rzeczywistej P i urojonej Q
P i Q
0.6
P
0.5
Q
0.4
0.2
0
2
�
-0.2
-0.4
0 5 10 15 20
Cha-ka amplitudowa
1 1
M (�) = F( j�) = =
| 2 + j� |
4 + �2
Cha-ka amplitudowa
� 0 2 "
0.5
1
M(�) 0.5 0
0.4
2 2
0.3
-45
�(�) 0 -90
0.2
0.1
0
�
-0.1
0 5 10 15 20
Cha-ka fazowa
-�
Q �
4 + �2
�(�) = arctg = arctg = -arctg
2
P 2
4 + �2
Cha-ka fazowa
Cha-ka fazowa
0
0
�
2
-20
-20
-40
-40
�ł -Ą
�ł
�ł �ł
-45
4
�ł łł
-60
-60
-80
-80
�ł - Ą
�ł
�ł �ł
-90
2
�ł łł
-100
-100
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
Cha-ka fazowa
1
L(�) = 20log M (�) = 20log = -20log 4 + �2
4 + �2
Logorytmiczna
0
log�
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-2 0 2
10 10 10
Sygnał może zadany przez funkcję czasową - f(t)
wtedy trzeba korzystać z przekształcenia całkowego aby wyznaczyć
cha-kę widmową.
Sygnał może zadany przez transformatę Laplace a F(s) funkcji
czasowej f(t) - wtedy do wyznaczenia cha-ki widmowej trzeba
korzystać z następującej zależności
F( j�) = F(s)
s= j�
s2
Przykład. Funkcja czasu ma transformatę
F(s) =
Oblicz cha-kę widmową funkcji
9 + s2
s2 -�2 �2
F( j�) = = =
9 + s2 9 -�2 �2 - 9
s= j�
Przekształcenie odwrotne Fouriera
+" +" +&!
1 1 1
j�t j��"t j��"t
f (t) = F( j�)e d� = X (�)e d� = 2Ąe d�
+" +" +"
2Ą 2Ą 2Ą
-" -" -&!
+&!
j�t j&! �"t j&! �"t
e e - e- j&! �"t 2 e - e- j&! �"t
f (t) = = =
jt jt t j2
-&!
Przekształcenie odwrotne Fouriera
j&! �"t
2 e - e- j&! �"t 2 sin(&! �"t) 2&! sin(&! �"t)
f (t) = = = = 2&! sin c(&!t)
t j2 1 t 1 &! �"t
Transmitancja układów analogowych
Transmitancja operatorowa jest funkcją zmiennej zespolonej s, przez
którą należy pomnożyć transformatę Laplace'a wymuszenia, aby
otrzymać transformatę Laplace'a odpowiedzi. Transmitancja układu
liniowego nie zależy od postaci wymuszenia, lecz jedynie od
parametrów i struktury układu.
Układy analogowe są przetwornikami sygnałów analogowych.
Sygnał wymuszający można wyrazić zależnością
X ( j�) = X (s)
s = j�
Podobnie odpowiedz układu będzie wówczas dana zależnością
Y (j�) = Y (s)
s = j�
Transmitancja układów analogowych
Funkcję, która jest współczynnikiem między transformatą
Fouriera wymuszenia i transformatą Fouriera odpowiedzi,
nazwiemy transmitancją częstotliwościową
Y (j�) = G(j�)X (j�)
Transmitancję częstotliwościową można wyznaczyć z
transmitancji operatorowej podstawieniem s = j�
Y (s)
G(j�) = G(s)
G(s) =
s = j�
X (s)
Transmitancja układów analogowych
Transmitancja częstotliwościowa zwana jest także
transmitancją widmową. Podobnie jak charakterystyki
częstotliwościowe sygnałów, ma ona charakterystykę
amplitudową i charakterystykę fazową
G(j�) = M (�)exp[j�(�)]
Charakterystyka amplitudowa i charakterystyka fazowa
transmitancji jest często uzupełniana charakterystyką
amplitudowo-fazową na płaszczyznie zmiennej
zespolonej (płaszczyznie Gaussa- wykres Nyquista)
G(j�) = P(�) + jQ(�)
Transmitancja układów analogowych
Inne oznaczenia Transmitancji
G(j�) = H (j�) = T (j�)
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
L(�) = 20log M (�) [dB]
Transmitancja układów analogowych
Zbadać charakterystykę częstotliwościową układu przedstawionego na
rys., który jest nazywany pasywnym górnoprzepustowym filtrem RC.
C
y
x
R
Przy założeniu, że wymuszeniem dla układu jest napięcie przyłożone do
gałęzi szeregowej RC, natomiast odpowiedzia jest napięcie na oporniku,
otrzymuje się związek między charakterystykami częstotliwościowymi
odpowiedzi i wymuszenia w postaci
j�RC
Y (j�) = X (j�)
1 + j�RC
Transmitancja układów analogowych
Badany układ jest opisany transmitancją częstotliwościową
sRC s
j�RC j�
G(s) = =
G(j�) = =
1
1+ sRC
1
1+ j�RC
+ s
+ j�
RC
RC
Charakterystyka amplitudowa jest w postaci
�
M (�) =
2
1
�ł �ł
+ �2
�ł �ł
RC
�ł łł
Charakterystyka fazowa
Ą 1
�(�) = - arctg(�RC) = arctg( )
2 �RC
Transmitancja układów analogowych
Postać kartezjańska
1
�ł �ł
�
- j�
�ł �ł
�2 + j
j�
RC
�ł łł
RC
G(j�) = =
2
1 1
�ł �ł �ł �ł
1
�ł �ł
+ j� - j�
�ł �ł �ł �ł
+�2
�ł �ł
RC RC
�ł łł �ł łł
RC
�ł łł
Część rzeczywista Cześć urojona
�2
1
P(�) =
�
2
RC
1
�ł �ł
Q(�) =
+ �2
�ł �ł
2
1
RC �ł �ł
�ł łł
+ �2
�ł �ł
RC
�ł łł
Charakterystyka logarytmiczna
2
� 1
�ł �ł
L(�) = 20log M (�) = 20log = 20log� - 20log + �2
�ł �ł
2
RC
�ł łł
1
�ł �ł
+ �2
�ł �ł
RC
�ł łł
Transmitancja układów analogowych
1
= 5
� 0
1
"
RC
RC
P(�) 0 1 1
Cz. Rzeczywista
2
1
Q(�) 0 0
Cz. Urojona
2
1
M(�) 0 1
Cha-ka Modułu
2
�(�) 90 45 0
Ch-ka fazowa
-20
-3
L(�) 0
Ch-ka logarytmiczna
dB
/dek
Cha-ka P(w) i Q(w)
1
0.8
P(w)
Q(w)
0.6
0.4
0.2
�
0
0 10 20 30 40 50
Cha-ka widmowa (amplitudowo-fazowa)
Nyquis t
Q(w)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
P(w)
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Cha-ka amplitudowa M(w)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
�
0
0 5 10 15 20 25
Cha-ka fazowa
100
90
80
60
40
20
�
0
0 5 10 15 20 25
Cha-ka logarytmiczna
10
log�
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10
Przykład cha-ki 2 rzędu
10 1.11�"32
H (s) = =
s2 + 2s +10 (s +1)2 + 32
10 10
H ( j�) = =
( j�)2 + 2( j�) +10 10 -�2 + j2�
2
h(t) =1.11�"3e-t sin(3t)
1 . 5
1
0 . 5
0
-0 . 5
-1
0 1 2 3 4 5 6
t
x(t)
Przykład cha-ki 2 rzędu
10 10
H ( j�) = =
( j�)2 + 2( j�) +10 10 -�2 + j2�
10(10 -�2 - j2�)
H ( j�) =
2
(10 -�2) + 4�2
- 20�
10(10 -�2)
Q(�) =
P(�) =
2
2
(10 -�2) + 4�2
(10 -�2) + 4�2
10
10
L(�) = 20log
M (�) =
2
2
(10 -�2) + 4�2
(10 -�2) + 4�2
- 2�
�(�) = arctg
(10 -�2)
Wartości charakterystyk
3
� 0 1 2
"
P(�) 1 1.06 1.15 0.27 -0
Q(�) 0 -0.23 -0.77 -1.62 -0
M(�) 1 1.1 1.4 1.64 +0
�(�) 0 -0.25 -0.67 -Ą/2 -Ą
L(�) 0 0.42 1.2 4.3 -40dB/
dek
Charakterystyki
P i Q Nyquis t
2 0
1 -0.5
0 -1
-1 -1.5
-2 -2
0 5 10 -1 0 1 2
Cha-ka amplitudowa Cha-ka fazowa
2 0
1.5
-1
1
-2
0.5
0 -3
0 5 10 0 5 10
Charakterystyki P i Q
P i Q
1.5
1
0.5
0
�
-0.5
-1
-1.5
-2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Charakterystyk amplitudowo-fazowa
Nyquist
Q
0.2
0
P
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Charakterystyk amplitudowa
Cha-ka amplitudowa
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10
�
Charakterystyk fazowa
Cha-ka fazowa
0
�
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
0 2 4 6 8 10
Charakterystyki logarytmiczne
Logarytmiczna Amplitudowa
50
0
-50
-100
-150
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Log fazowa
0
-50
-100
-150
-200
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
log w
Postać czasowa i transformata Laplace a sygnałów analogowych
P
L(s) Ck
H (s) = = Transformata Laplace,a sygnału (układu)
"
N(s) (s - sk )
Sk pierwiastki mianownika
k =1
Ck stała skladnika
P
Postać czasowa sygnału
h(t) = Ckeskt
"
- odpowiedz impulsowa układu
k =1
L(s)
Wzór na wyznaczanie stałych
Ck = (s - sk )
s=sk
N(s)
Przykłady
s2 s2 + 4s + 4- 4s - 4 s2 + 4s + 4 4s + 4 4s + 4
H(s) = = = - =1-
s2 + 4s + 4 s2 + 4s + 4 s2 + 4s + 4 s2 + 4s + 4 s2 + 4s + 4
4s + 4 4s + 4 C1 C2
H(s) =1- =1- =1+
(s + 2)+
s2 + 4s + 4 (s + 2)2 (s + 2)2
4s + 4
C2 = - (s + 2)2 = (-4s - 4) = 4
s=-2 s=-2
(s + 2)2
ńł
d 4s + 4
C1 = (s + 2)�ł = -4 = -4
�ł- żł
s=-2 s=-2
ds (s + 2)
ół �ł
Postać czasowa sygnału
4 4
H (s) =1- +
s + 2
(s + 2)2
h(t) = � (t) - 4e-2t + 4te-2t
Transformata Laplace a w postaci
Składników prostych
Przykłady
2 C1 C2
H (s) = = +
s(s + 4) s (s + 4)
Wyznaczanie stałych
2 2 2 1
C1 = (s) = = =
s=0 s=0
s(s + 4) (s + 4) (0 + 4) 2
2 2 2 1
C2 = (s + 4) = = = -
s=-4 s=-4
s(s + 4) s - 4 2
0.5 0.5
Transformata Laplace,a w postaci składników
H (s) = -
s (s + 4)
prostych
Postać czasowa sygnału
1 1 1
h(t) = 1(t)- e-4t = (1- e-4t )�"1(t)
2 2 2
Transmitancja odpowiedz impulsowa
Jeżeli H(s) jest transformatą układu analogowego
Jeżeli wymuszeniem jest impuls Diraca x(t)=�(t)
To X(s) jest transformatą wymuszenia impulsowego
X(s)=1
Wtedy transformata odpowiedzi układu analogowego
ma postać
Y(s) = H(s) X(s) = H(s)" 1 = H(s)
Zatem odpowiedz impulsowa układu analogowego jest transformatą
odwrotną transmitancji
y(t) = h(t) = L-1{H (s)}

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
RRCz, Szeregi Fouriera i Przestrzenie Hilberta Jakobczyk p41 pIRX
tablice fourier
Pytania Fourier
CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 6 3 Szeregi Fourieraatematyczna
4 Fourier
sf1 zadania na kartkówkę z szeregów fouriera rozw
cw8 analiza widmowa metoda szybkiej transformaty fouriera (FFT)
Szereg Fouriera 2
Plancherel Theorem and Fourier Inversion Theorem
PS 5b Przeksztalcenie Fouriera
fourier
Practical Analysis Techniques of Polymer Fillers by Fourier Transform Infrared Spectroscopy (FTIR)
cz07 Trans Fouriera
Fourier?T
Transf fourier
FFT algorytm3 Transformata Fouriera

więcej podobnych podstron