3582320371

Zestaw 5 Podgrupy, arytmetyka modularna

1.    Wykaż, że jeśli w grupie skończonej G zbiór S ^ 0 jest zamknięty ze względu na działanie grupowe, wówczas S jest podgrupą.

2.    Wykaż, że podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.

Czy cykliczna jest grupa (G, O), gdzie działanie O zdefiniowane jest w tabelce?

O	e	a	b	c	d
e	e	a	b	c	d
a	a	b	d	e	c
b	b	d	c	a	e
c	c	e	a	d	b
d	d	c	e	b	a

a) Wyznacz rzędy wszystkich elementów G.

b) Wyznacz wszystkie elementy podgrupy (a).

3. Czy permutacje są parzyste? Znajdź rząd permutacji. Wypisz wszystkie elementy grupy {a).

,,    _fl23456789\

^{a) ^    ^256 173498 )

...    /123456789\

(^b)^f—^ 5 9 2 7 6 8 4 13/

4.    Udowodnij, że dla dowolnego n > 1 zachodzi — \n\. gdzie jest zbiorem wszystkich permutacji parzystych należących do S_n.

5.    Znaleźć taką liczbę    całkowitą o,    że    a = 4(mod 6) i a    = 5(mod35).

6.    Znaleźć taką liczbę    całkowitą a,    że    a = 4(mod 7) i a    = l(modl9).

7.    Znaleźć taką liczbę    całkowitą a,    że    a = 38(mod 103)    i a = 81(mod83).

8.    Sprawdź, czy istnieje taka liczba całkowita a, że a    = 7(mod 8) i a    =

5(modl2).

9.    Czy istnieje a £ Z*1 taki, że:

a) o² — 7(mod 11), b) o² — 5(mod 11)?

1