22963

Zestaw J, Podgrupy

1.    Udowodnij, że niepusty podzbiór H grupy G nazywamy podgrupą grupy G, jeśli spełniony jest warunek: V_<,_tb_e//a6^_1 € //

2.    Udowodnij, że każda podgrupa grupy Z jest w postaci nZ. gdzie n 6

N U {0}.

3.    Dla każdego a 6 Z% wyznaczyć podgruj>ę (a) i określić rza. Czy 2% jest grupą cykliczną?

4.    Dla każdego a 6 Z], wyznaczyć podgrupę (a) i określić rza. Czy Z\_x jest grupą cykliczną?

5.    Udowodnić, że każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, jest cykliczna.

6.    Udowodnić, że jeśli rza — n i m 6 Z. to a^m = e wtedy i tylko wtedy gdy rn\n.

7.    Udowodnić, że jeśli rz G = n, to dla każdego a € G zachodzi aⁿ = e.

8.    Jeśli rza⁵ =12, to jakie są możliwości dla rza?

9.    Znaleźć wszystkie podgrupy Z,,.

10.    Czy zbiór Z , jest podgrupą grupy Z|?

11.    Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Z*.

12. Niech D := R \ {—1; 0} i niech: /,(*) = x, /₂(x) =    , /₃(x) =

f₄(x) = ^ Mx) =    f₆(x) = -x - 1. Niech G = {/,, f₂...../₆}.

(a) Wykazać, że (G. o) jest grupą. Zbudować tabelkę działania o.

(b) Wykazać, że H = {fi, f₄} oraz F = {} ^są podgrupami grupy H.

(c)    Wyznaczyć warstwy grupy G względem podgrup H i F.

1