22964

Zestaw 5

Podgrupy, arytmetyka modularna

1.    Wykaż, że jeśli w grupie skończonej G zbiór 5^0 jest zamknięty ze względu na działanie grupowe, wówczas S jest podgrupą.

2.    Wykaż, że podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.

Czy cykliczna jest grupa {G. 0), gdzie działanie 0 zdefiniowane jest w tabelce?

0	e	a	b	c	d
e	e	a	b	c	d
a	a	b	d	e	c
b	b	d	c	a	e
c	c	e	a	d	b
d	d	c	e	b	a

a)    Wyznacz rzędy wszystkich elementów G.

b)    Wyznacz wszystkie elementy podgrupy (a).

3. Czy permutacjesą parzyste? Znajdź rząd permutacji. Wypisz wszystkie elementy grupy (<7).

5

(b)*=(s 9

8    9

9    8

5    6

6    8

4. Udowodnij, że dla dowolnego n > 1 zachodzi A_n = |n!, gdzie .4,, jest zbiorem wszystkich permutacji parzystych należących do S_n.

5.    Znaleźć    taką    liczbę całkowitą u,    że    a = 4(mod6) i a =    5(mod35).

6.    Znaleźć    taką    liczbę całkowitą a,    że    a = 4(mod7) i a =    l(mod 19).

7.    Znaleźć    taką    liczbę całkowitą a,    że    a = 38(mod 103) i a = 81(mod83).

8.    Sprawdź, czy istnieje taka liczba całkowita a, że a =    7(mod8) i    a    =

5(mod 12).

9.    Czy istnieje a € Z]1 taki, że:

a) a² = 7(mod 11), b) a² = 5(mod 11)?

1