3582320370

Zestaw 4 Podgrupy

1.    Udowodnij, że niepusty podzbiór H grupy G nazywamy podgrupą grupy G, jeśli spełniony jest warunek: 'i_a,b€Hab~¹ £ H

2.    Udowodnij, że każda podgrupa grupy Z jest w postaci nZ, gdzie n £ NU{0}.

3.    Dla każdego a £ Zg wyznaczyć podgrupę (a) i określić rz a. Czy Zg jest grupą cykliczną?

4.    Dla każdego a £ Z*₄ wyznaczyć podgrupę (a) i określić rz a. Czy Z*₄ jest grupą cykliczną?

5.    Udowodnić, że każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, jest cykliczna.

6.    Udowodnić, że jeśli rz o = n i m £ Z, to u^m = e wtedy i tylko wtedy gdy m\n.

7.    Udowodnić, że jeśli rz G = n, to dla każdego a £ G zachodzi aⁿ = e.

8.    Jeśli rza⁵ — 12, to jakie są możliwości dla rza?

9.    Znaleźć wszystkie podgrupy Z₆.

10.    Czy zbiór Z₂ jest podgrupą grupy Z₄?

11.    Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Zg.

12.    Niech D :=R\ {-1; 0} i niech: /i(x) - x, f₂{x) =    f₃(x) -

f4,{x) =    f₅{x) = f_G{x) = -x - 1. Niech G = {/i, h,..., fe}.

(a)    Wykazać, że (G, o) jest grupą. Zbudować tabelkę działania o.

(b)    Wykazać, że H = {/i,/*} oraz F — {/i,/2,/3} są podgrupami grupy H.

(c)    Wyznaczyć warstwy grupy G względem podgrup H i F.

1