3582321574

"Matematycy są jak zakochani. Podaruj takiemu najskromniejszą przesłankę, a uczepi się jej i wyprowadzi z tego wnioski, które będziesz musiał zaakceptować."

Bernard le Bovier de Fontanelle

Tw.

Jeżeli f:E_nxE_n->[R jest formą dwuliniową, to istnieje AeM(n) taka, że

f(x, y) = x° A- y^T = A^T 'X^T ° y    (A = ^/(^)/ B - baza E_n)

Np. Napisz wzór formy dwuliniowej f(x,y), która w bazie B= [(-1,1,1), (1,2,-1), (0,1,2)] ma macierz

-13    2

M_f(B, B)=

11-1 L 2    -1    3 J

niech x= (X¹, x², x³), y=(y¹, y², y³) => x_B=

	-1 1 0'		y^r
yB=	12 1	*	y2
	. 1 -12. r-i	3	y^3.

f(x,y)= x_B o

-1 1 0 12 1

	r 11 X^1
■	CM *
	lx^3\

=(-y¹+y²,y¹+2y²+y³,y¹-y²+2y³)

=(-x¹+x²,x¹+2x²+x³, x¹-x²+2x³)

2 '

11-1

2    -1    3 .

=(-x¹+x²)-(6y¹+3y²+7y³)+(x¹+2x²+x³)-(-y¹+4y²-y³)+(x¹-x²+2x³)-(-3y²+5y³)= = -7x¹y¹-2x¹y²-3x¹y³+4x²y¹+14x²y²-x³y¹-2x³y²+9x³y³

y_B=(-x¹+x²,x¹+2x²+x³, x¹-x²+2x³)°(6y¹+3y²+7y³, -y¹+4y²-y³, -3y²+5y³)

Wniosek:

Jeżeli Mf(B) jest symetryczna, to f(x,y) = x°M _f (B) • y^T —M _f (B) • x^T ° y