3582469015

42

Część III

CAŁKI POWIERZCHNIOWE

Poznaliśmy już rachunek całkowy w przypadku n-wymiarowych podzbiorów przestrzeni R". Ponadto w poprzednim rozdziale wprowadziliśmy całki po k-wymiarowych podzbiorach przestrzeni Rⁿ, gdzie k < n i konkretnie k — 1. W przypadku dowolnego k sytuacja się komplikuje, ponieważ jako funkcje podcałkowe nie wystarczą nam już dotychczas rozważane pola skalarne i wektorowe, ale potrzebujemy tzw. form różniczkowych. Jest to pojęcie, które zostanie wprowadzone dopiero na wykładzie Analiza Matematyczna 4■ Jeżeli jednak ograniczymy się tylko do przypadku n = 3 i k = 2 (piaty powierzchniowe), to formy różniczkowe nie będą nam potrzebne, tylko dalej będziemy mogli operować pojęciami funkcji skalarnej i wektorowej rozwijając dla nich terię tzw. całek powierzchniowych.

Podobnie jak w przypadku całek krzywoliniowych, wyróżniamy dwa rodzaje całek powierzchniowych w zależności od rodzaju funkcji podcałkowej. Jeśli całkujemy funkcję o wartościach rzeczywistych (tzw. funkcję skalarną lub pole skalarne), to mamy do czynienia z tak zwaną całką powierzchniową nieskie-rowaną lub niezorientowaną. W przypadku funkcji wektorowej, to znaczy funkcji o wartościach w R³ (tzw. pole wektorowe), mówimy o całce powierzchniowej skierowanej lub zorientowanej.

Teoria całek powierzchniowych nie będzie się zbytnio różnić od teorii całek krzywoliniowych. Ale ponieważ płaty powierzchniowe są nieco bardziej skomplikowanymi objektami niż krzywe, więc zwiększy się trochę nakład pracy rachunkowej.

7 Płaty powierzchniowe

Nasze rozważania musimy rozpocząć od określenia, które ,,dwuwymiarowe podzbiory przestrzeni R³” możemy dopuścić jako obszary całkowania. Rozsądek podpowiada nam, że takim obszarem powinna być sfera, torus, prostokąt, brzeg kostki itp. W większości punktów takiego zbioru powinna istnieć płaszczyzna styczna, ale podobnie jak w przypadku całek krzywoliniowych będziemy dopuszczać także zbiory, w kórych w „małej” liczbie punktów nie będzie płaszczyzny stycznej (przykładowo: brzeg kostki). Technicznie osiągniemy to podobnie jak przy krzywych kawałkami gładkich, a mianowicie będziemy rozpatrywać podzbiory będące sumą tzw. podzbiorów gładkich. Wtedy płaszczyzny stycznej nie będzie maksymalnie w punktach złączenia.

Rozpoczniemy od definicji funkcji wektorowej dwóch zmiennych rzeczywistych.

Definicja 7.1. Niech DC R² będzie dowolnym obszarem. Funkcję r : D R³ nazywamy funkcją wektorową dwóch zmiennych.