3582492696

jak łatwo widać, tangensem kąta a_k, który sieczna zorientowana według rosnących odciętych tworzy z kierunkiem dodatnim osi X. Graniczne położouic, do którego zmierza sieczna, gdy h dąży do 0, uważać będziemy za położenie etycznej. A zatem

(²)    /'(o) = tga,

gdzie a jest kątem utworzonym przez kierunek dodatni stycznej do krzy-wej y =/(») w punkcie a z kierunkiem dodatnim osi X.

Me każda funkcja ciągła posiada pochodną, czyli nie każda krzywa posiada w każdym punkcie styczną. Na przykład funkcja f(tc) - |®| „jo posiada pochodnej w punkcie 0. W tym bowiem wypadku

W danym wypadku możemy mówić o pochodnych jednotlronnych które są odpowiednio równe 1 i -1. Ogólnie, nazywamy pochodną prawo'-slronną, względnio lewostronną, granicę prawostronną, względnie lewostronną:

(3) J+(«) = Km ^/(<*⁺^~^/(<>). f. (<*) = Km /(<*+*>-/(«)

Istnieją jednak funkcje ciągłe, któro nie posiadają poohodnoj nawet jednostronnej. Łatwo się przekonać, żo funkcja / określona przez warunki

(*)    //*) = *sin— dla te ^ 0,    /(O) = 0 jest ciągła, lecz nie posiada pochodnej w punkcie 0 (rys. 13).

Mianowicie podstawiając na h dwa ciągi wartości

«’ 5w’ 9*’"'    °™^Z 3re’ 7it’ lin’'" ’

otrzymujemy w granicy w pierwszym wypadku 1, a w drugim l.

Nieistnienie pochodnej /'(O) wynika również z nieistnienia granicy limsin —. Mielibyśmy bowiem

(por. (8), § 4.5).

Rys. 12

Istnieją jeszcze bardziej osobliwe funkcje ciągle, mianowicie pozbawione pochodnych w każdym punkcie; przedstawiają one więc krzywe ciągłe, które w żadnym punkcie nie posiadają stycznej.

Prócz pochodnych skończonych rozważamy też pochodne nieskończone. Udowodnimy np., że

bo lim/i^J'³ = 0. Analogicznie lim y?h = +0, skąd drugi wzór.

Mówimy, że funkcja jest różniozkimalna w przodziale otwartym, jeśli posiada pochodną skończoną w każdym punkcio tego przedziału; mówiąc, że funkcja jest różniczkowalna w przedziale domkniętym o < x < b, zakładamy, że posiada pochodną w każdym punkcie wewnątrz przo-dziahi, a pochodną jednostronną na krańcach tego przedziału.