1636662236

17

gdzie B > 0. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że jako pierwszy umrze parzystolatek?

Rozwiązanie. Niech n = 21 : 23 : ... : 29 oraz p — 22 : 24 : ... : 30. Mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że T(p) < T(n). Niech dalej c = 1,23. Mamy

= Bc²¹⁺‘ + Be²³-¹-' + ... + Be²⁹-¹-* = Bc^Wn+t

gdzie w_n spełnia równanie

_c^_=c21_+c23 ₊ ..._c29_

Podobnie

Pp+t = Bc^w'

gdzie w_p spełnia równanie _c-p = _c22 _{+ c}24 ₊ ..._c30_

p = W_n + 1

i dalej

Pr{T(p) < T(n)) = [ _tp_n- tPp ■ Pp+t = [ tPw_n • tPu>„ (/*«»»+* +

Jo    Jo    P

18. Rozważamy ubezpieczenie n-letnie na życie dla (x), ciągłe, które wypłaci 1 zł w chwili śmierci, jeżeli ubezpieczony umrze w ciągu n lat. Składki są płacone w postaci renty życiowej ciągłej n-letniej z odpowiednio dobraną stałą intensywnością netto P. Niech W (t) — e~^StV(t) oznacza wartość obecną rezerwy po t latach, obliczoną na moment wystawienia polisy. Załóżmy, że funkcja W(t) osiąga maksimum w pewnym punkcie t* € (0, n). Obliczyć P, jeśli wiadomo, że

F(t*) = 0,1 oraz p_x+t* = 0,01.

Rozwiązanie. Ponieważ

W(t) = -Se~^s,V(f) + e~^stV'{t) = e-“[V'(t) - ÓV(t)] więc t* spełnia równanie

V'(t*) - SV{t*) = 0.

Uwzględniając równanie Thielego otrzymujemy stąd

P = (1 - V(t*))p_x+t. = 0,009.

19. Rozważamy ubezpieczenie emerytalne dla (x), wybranego z populacji de Moivre’a z wiekiem granicznym uj > x. Polega ono na tym, że przez najbliższe m lat (m < ui — x), będzie on płacił składkę w postaci renty życiowej ciągłej z intensywnością netto 1. Po dożyciu wieku x+m zacznie otrzymywać emeryturę dożywotnią z intensywnością E. Do rachunków netto użyto technicznej intensywności oprocentowania <5 = 0. Intensywność emerytury E jest więc funkcją x,m oraz w. Udowodnić, że elastyczność E względem wieku granicznego to wyraża się wzorem:

dE to _    2to(x — to)

dto E (to — x — m) (2 to — 2 x — m)