3226794628

równocześnie g(x) =

Metodę przewidywań całkowania równania y' + f(x) • y = g{x) stosujemy, gdy:

/(*) = constans (tzw. równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach),

W_n(x) — wielomian stopnia n

A cossx + B sin sx

De^kx A k e R

suma lub iloczyn powyższych

Całkę szczególną równania niejednorodnego należy przewidzieć w tej samej postaci co g(x), zachowując odpowiednio: stopień wielomianu n. liczbę s oraz liczbę k.

W miejsce pozostałych stałych (A, B, a. b. oraz współczynniki wielomianu) przyjmuje się stałe nieokreślone. Ich wartości są precyzowane po wstawieniu przewidywanej funkcji do równania niejednorodnego y' + / • y = g(x).

Tabela przewidywań postaci całki szczególnej y_s(x) równania niejednorodnego y' + / y = g{x).

Postać funkcji g[x)	Uwagi	Postać przewidywana ys(x)
Pn(x)	f* 0	Wn(x)
	o II	<=» x-Wn{x)
a ■ e^kx	k*-f	A- e^kx
	k = —f	A* x • e^kx
P„(x)-e^kx	k*-f	Wn(x) ■ e^kx
	k — —f	Wn+1(*) ' ^e<a <=» x-Wn(x)-e^kx
a cos sx + b sin sx		A cos sx + B sin sx
Pn (x) cos sx + Qm (x) sin sx	n > m	Wn(x) cos sx + Mn (x) sin sx
Pn(pc)e^kx cossx + Qm(x)e^kx sin sx	n > m	Wn(x)e ^kx cos sx + Mn(x)e^kx sin sx

gdzie:

W_n(x) = a_nxⁿ + a,,-!*"^-1 + ...+ tli* + a₀ ;    M_n(x) = b_nxⁿ + b,_l_₁x^n_1 + ... + b_xx + b₀ :

P_n(x) = Pm*" + Pn-i*"'¹ + ■■ ■ + PiX + Po    <?,„(*) = q_mx^m + q_m-₁x^m-¹ + ... + q₁x + q₀

y' + 0,3)7 = sin 2x _y' - 4y = _x ■ e^4x

y_s = a sin 2x + b sin 2x

y_s = x • (ax + b) • e^4x

Przykłady:

y- + 7y = x² + 4

y' + 2 y = e“^5x

y_s = ax² + bx + c y_s = a • e~^5x

5. Równania Bernoulliego

y' (*) + /(*) ■ y = g(x) • yⁿ dla n E R\{0; 1}

^+/W7rSW7" /:yⁿ *0

^■y-ⁿ + f(x)-y¹-ⁿ=g(x)    /-(l -n)

(1 -n) ■ y- ■ ^ + (lUn) • /(*) • y¹"¹ = (1 - n) • g{x)

następnie podstawiamy:

i otrzymujemy równanie liniowe:

z = y¹ ”

r

rfz

dx

+ (!-«)• /(*) • z = (1 -n) • 0(x)

które rozwiązujemy zgodnie z opisem rozwiązywania równań linowych

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

- 196-

w w w. ma tein atyka. sosno wiec.p I