równocześnie g(x) =
/(*) = constans (tzw. równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach),
Wn(x) — wielomian stopnia n
A cossx + B sin sx
Dekx A k e R
suma lub iloczyn powyższych
Całkę szczególną równania niejednorodnego należy przewidzieć w tej samej postaci co g(x), zachowując odpowiednio: stopień wielomianu n. liczbę s oraz liczbę k.
W miejsce pozostałych stałych (A, B, a. b. oraz współczynniki wielomianu) przyjmuje się stałe nieokreślone. Ich wartości są precyzowane po wstawieniu przewidywanej funkcji do równania niejednorodnego y' + / • y = g(x).
Tabela przewidywań postaci całki szczególnej ys(x) równania niejednorodnego y' + / y = g{x).
|
Postać funkcji g[x) |
Uwagi |
Postać przewidywana ys(x) |
|
Pn(x) |
f* 0 |
Wn(x) |
|
o II |
<=» x-Wn{x) | |
|
a ■ ekx |
k*-f |
A- ekx |
|
k = —f |
A* x • ekx | |
|
P„(x)-ekx |
k*-f |
Wn(x) ■ ekx |
|
k — —f |
Wn+1(*) ' e<a <=» x-Wn(x)-ekx | |
|
a cos sx + b sin sx |
A cos sx + B sin sx | |
|
Pn (x) cos sx + Qm (x) sin sx |
n > m |
Wn(x) cos sx + Mn (x) sin sx |
|
Pn(pc)ekx cossx + Qm(x)ekx sin sx |
n > m |
Wn(x)e kx cos sx + Mn(x)ekx sin sx |
gdzie:
Wn(x) = anxn + a,,-!*"-1 + ...+ tli* + a0 ; Mn(x) = bnxn + b,l_1xn_1 + ... + bxx + b0 :
Pn(x) = Pm*" + Pn-i*"'1 + ■■ ■ + PiX + Po <?,„(*) = qmxm + qm-1xm-1 + ... + q1x + q0
y' + 0,3)7 = sin 2x y' - 4y = x ■ e4x
ys = a sin 2x + b sin 2x
ys = x • (ax + b) • e4x
Przykłady:
y- + 7y = x2 + 4
y' + 2 y = e“5x
ys = ax2 + bx + c ys = a • e~5x
5. Równania Bernoulliego
y' (*) + /(*) ■ y = g(x) • yn dla n E R\{0; 1}
^■y-n + f(x)-y1-n=g(x) /-(l -n)
następnie podstawiamy:
i otrzymujemy równanie liniowe:
r
rfz
dx
+ (!-«)• /(*) • z = (1 -n) • 0(x)
które rozwiązujemy zgodnie z opisem rozwiązywania równań linowych
© Copyright by Ewa Kędzi orczyk
- 196-
w w w. ma tein atyka. sosno wiec.p I