3307665874

2 Test oparty na regresji liniowej

W modelu regresji liniowej posługiwać się będziemy zestawem danych {(Y*, x,), i = 1,2, gdzie Yi jest zmienną losową (E(Yi) < oo), a x, =    ..., #*) wektorem zmiennych objaś

niających. Dodatkowo zakładamy, że dane te są niezależne dla każdego i. Testować będziemy hipotezę zerową

H₀:E(Yi) = m, Var(Y_i)=_ti_i    (1)

przeciwko hipotezie alternatywnej

^ : E(Yt) = Var(Yi) = Hi + a ■ g(ni), a > 0,    (2)

gdzie ^ — /t(xj, 0) jest różniczkowalną funkcją o wartościach w R₊ i własności takiej, że fi(xi,Po) = /t(xj, 0_X) po = Pi, a g(Hi) '■ R+ —► R+ jest określoną funkcją różniczkowalną. W literaturze zazwyczaj przyjmuje się im — exp(x* o 0) oraz 5(/fi) równe 1, (m lub Hi-

Zakładając prawdziwość hipotezy H\ i przekształcając równanie (2) otrzymujmemy a stąd definiujemy błąd £/

(Yi - Htf -Y, = ag(Hi) +    (3)

Zatem

e, = (Y -inf-Yi-E [(y -    - y]

jest błędem o następujących parametrach:

E(e,) = E ((15 - Hi)² -Y,-E[(Y,- Hi)² - V,]) =

= e [(15 - Hi)² - y] - e {e [(y₍ - Hi)² - y,]) =

= e [(y—Hi)² - y] - e [(y, - Hi)² - y] =

= o

Var(ei) = Var ((Y, - Hi)² — Yt — E [(y - Hi)² -!*]) = Var [(15 - Hi)² - li] =

= e [ty - Hi)² - yf - {e [(y - hY² - y])² =

= e [(Yi - h,)‘ - 2y (y - H<?+y²] - (oig(Hi))² =

= E(Yi - Hi)¹ - 2E [y(y - Hi)²] + E(Y)² - (ag(Hi))² =

_ ( Var(X) = EX² - (EX)² 1 _

~~ \ EX² = Var(X) + (EX)² / ~

4