8873811746

Suma współczynników wielomianu fF(x)« x' +ax^! +bx+c jest równa l + a + ó + c = 0 Niech p oznacza najmniejszy pierwiastek wielomianu W. Ponieważ pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnią- 3. więc pozostałe dwa pierwiastki są równe p + 3 oraz p+6.

a) Wielomian możemy więc zapisać w postaci iloczynowej lT(x) = (x-p)(x-;>-3Xx-p-6}.

Stąd

FF(.t) = (x^: - px - 3x - px +■ p' + 3p) (.x - p - 6),

JF(a) = x' -px^: -6x²- px^: +p^:x+6 px+p'x-p' - 6p^: + 3px - 3/r -18/». n’(x) = x^, + (-3p-9)x^J+(3y+lSp+lS)x + (-.p'-9;>^,-18/>). Porównujemy współczynniki wielomianu, otrzymując układ równań

'a = -3p - 9 6 = 3p^: + 18/>-lS

c = -p -9p^: -18p

b) Możemy zapisać układ równań

p -ap +bp-c = 0

(/>+3)^J + a(p-3)‘ + 6(p-*-3) + c = 0 •

(j?*6)' +a(p + 6)‘ + 6(p-6)*c = 0

Stąd po przekształcemach. otrzymujemy układ równań:

a = -3p -9 b = 3p^: + 18/>-lS c = -p -9p -lSp

x. + x. + x, = -a

c)

Korzystając ze wzorów Viete'a równań otmimuar koleino

x, x. -x, x, —x_: x, =b , możemy zapisać układ

x. ■ x, • x, = -c

p+p~3~p+6=-a

p (p + 3)~p (p*6) + (p + 3) (p + 6) = b

p{p + 3)(p + 6) = -c

(a = -3p-9 6 = 3p^; + lSp + 1S [c = -p’-9p^:-18p

Stąd i z równości l+-<7+ó+c = 0. otrzymujemy

(-3.p-9) + (3.p^:+18/>+lS) + (-.p^,-9/r-18p)+l = 0.

/>' + 6/r +3/>-10 = 0.

Liczba 1 jest pierwiastkiem tego równania, więc z twierdzenia Bezouta wynika, że wielomian p^: +6p' +3/1-10 jest podzielny przez chumuanp-1 Wykonujemy dzielenie, stosując np. schemat Homera.

	1	6	3	-10
1	1	7	10	0

Równanie możemy więc zapisać w postaci fp-l)(p^: +7p + l0) = 0 Pozostałe rozwiązania równania p +6p' + 3/>-10 = 0 to pierwiastki trójmianu kwadratowego p² + 7p+10. czyli liczbyp = -5. /? = -2.

Gdy p = \. to wtedy a = -\2.6 = 39. c = -2S.

Gdy p = -5. to wtedy a = 6. 6 = 3, c = -10.

Gdy p - -2, to wtedy a«-3,6--6,c«8.

	• —12 \o = -3
Odpowiedź: Współczynniki a, b, c są równe	6 = 39 łub ‘b = -6 lub c = -28 [e = S