18788

9) Dla homomorfizmu liniowego takiego, że T(—1, 2) =(0, —3, 5) oraz T(3, —1) =(5, 4, O) wyznaczyć reprezentację macierzową w bazach kanonicznych.

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

10) Dane są przekształcenia liniowe:

S:9?² —S(x) = (-x,, x,+2x₂, x₂) P:9?³—»9?³, P(x) = (x,, 2x₂ -x₃,3x₂ + x₃)

H : SR² —» SR³, H(x) = (x,, -x, -3x₂, x, -2x₂) F: SR³ —> 9?, F(x) = -2x, + x₂ - x₃

I:SR²-»SR², r(x) = (x,-x₂,-2x,) R:SR³—»SR², R(x) = (-3x, + x₃, -x₂ + 2x₃) G:SR-»SR², G(x)=(2x, —x) Q:9P->tt³, Q(x) =(—x,_f 2x₂, x₃)

Podać wzory przekształceń liniowych (o ile przekształcenia takie istnieją)

2S -H, 3 H +S, 2Q-3P, 5 R +G. S °T ,T <>S, R° H, H o R, S oG, F ° P, G o F,

(RoH)+T, (P oH)-2S,Q°SoG, F oH o(2G),(S-H)°G, Ro(2P +Q)

Zadanie można rozwiązać dwoma sposobami: 1. wykonując działania na przekształceniach, 2. wykonując działania ma macierzach reprezentujących dane przekształcenia w bazach kanonicznych.

11*) Sprawdzić na podstawie definicji, które z przekształceń liniowych: Q,T, P, H, S _Są bijekcjami. Dla bijekcji wyznaczyć przekształcenie odwrotne i jego reprezentację macierzową w bazach kanonicznych.

12) Dla jakich wartości parametru ke SR przekształcenie T: 9?² —>9?² jest izomorfizmem: a) I(x) =(x, + kx₂, 2x, + k²x₂)    b) T(x) =(kx, -x₂, 2x, -2x₂) 13*) W przestrzeni wektorowej (M(2,2), -b ) zbadać liniową zależność (niezależność) wektorów:

■']—[: t]    -J—t t]

14) Wiedząc, że S(—4, —2, 2) =(-4,10, O 6) oraz M,

obliczyć (T -f-S)(2,1, —1)

0-11 2 1 0 1-11 10-1

15) Sprawdzić, czy przekształcenie T : M(n, n) —»M(n, n) jest homomorfizmem przestrzeni wektorowych(M(n, n), -+-, •) _{: a}) T(A) =A^r -2A, b) T(A) =(A-I)^r + /²

8