2085

Przykład

Wyznaczyć ekstrema globalne funkcji /(v, v)= r^: —y² w obszarze domkniętym D = {_X,y)e R^:: ,v^! +y² < l}

/ € C(D) => 3 ekstremum globalne

1 Wyznaczamy punkty stacjonarne we wnętrzu obszaru mt D = |.r,y)e R² :x² +y² <l} Pochodne cząstkowe muszą być równe 0,

[ — = 2x = 0

,r = 0 v = 0

/>(0,0) - punkt stacjonarny, P„eU

II    Badamy brzeg obszaru 5D = ^x, v)e R^:: r^: + y^l =l} Tworzymy funkcję Lagrange'a <t>(-v,,v) = at² — _v² + x(.r² + >>² — 1) Warunek konieczny dla funkcji Lagrange'a:

^-0

&    ^,(04)

,*₌₀ => ‘^p=⁽⁰’-^l)

i>y    p>( i.o)

-x² + y² = 1    P₄(-1,0)

III    Porównujemy wailości funkcji w punktach P₀-P_a

MM

f(P,)=f(P,)=-1 f(P,)=f(P.)= i

Odp.

Funkcja osiąga wartość największą równą 1 w punktach P_s i P_a oraz wartość najmniejszą równą -1 w punktach P_t oraz P,.