6827068939

lim = a właściwa / lim = +/-inf niewłaściwa

Ekstrema globalne funkcji

maksimum:

minimum: analogicznie

lokalne (S(x₀) - sąsiedztwo) maximum (min.

-    “    o)

rosnący ^w "n+t ^u« nicmalcjący _n^₁^£,n+i—^an malejący «j^a"^4l<a" nierosnący ^^an-u—

Obustronna - jest lewo- i prawostronna

Asymptota ukośna

y=ax+b ^lim If(x)-(ax+b)]=0

Warunek istnienia asymptoty ukośnej:

⁰⁼,¹r„^£7ⁱ b= lim (f[x)-ax) Ciągłość funkcji w punkcie istnieje WM i lim f{x)=f{x₀) Prawo- i lewostronna ciągłość f. w punkcie istnieje ^{1 im}/(*) i lim f{x)=f{x₀) analog.)

Wstawiając <, > zamiast <=, >= otrzymamy właściwe

Wypukłość, wklęsłość - Ixl,x2 - prosta przechodząca przez punkty Xi,f(xi) i x₂, ffo)

(^wkl«^s*ość - >=

Zamieniając >= i <= na > i < otrzymamy definicje ścisłej wypukłości i wklęsłości Punkt przegięcia funkcji istnieje w x«, gdy f jest ściśle wypukła (wklęsła) na S'(xo) i ściśle wklęsła (wypukła) na S‘(xo)

Funkcja pierwotna na przedziale f:I - R

nazywamy funkcją pierwotną na przedziale I, gdy: VF*(x)=f(xJ Pole trapezu krzywoliniowego:

|o|=J |y(t)x'(t)|dt

Pole obszaru normalnego:

|D|=J(sM-f(x))*

Pole wycinka krzywoliniowego:

|d|=-j7 (f(e)fde

Długość łuku:

W=J

Szereg geometryczny:    2j *7

V J_

Szereg harmoniczny:    ^

TWIERDZENIA:

Bolzano-Weierstrassa - Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do -•» lub +>».

Tw. o 3 ciągach - załóżmy, że '^₍^an-k_n-^Cn

a)    jeśli lim a„ = lim c„ = a, to lim b» = a

b)    jeśli lim a„ = +ln[ to lim b„ = ⁺lnf

c)    jeśli lim c„ = -inf, to lim b„= -inf

Warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji

- f. Jest ciągła w punkcie x₀ <=> f. Jest prawo- i

lewostronnie ciągła w punkcie Xo

Tw. o lokalnym zachowaniu znaku

Jeśli funkcja f:[a,b] R jest ciągła oraz

f(xo) > 0 dla pewnego Xo E [a,b] to:

Weierstrassa (max. i min. wartości) - Jeśli funkcja f: [a,b] R jest ciągła, to jest ograniczona na [a,b] przy czym istnieją punkty c,, c₂ w [a,b] takie, że: _jiV_bif(c,)<f(x)<f(c₂)

Darboux (wartości pośrednie) - Niech m=min f[a,b] oraz M=max f[a,b). Jeśli funkcja f [a,b] — R jest ciągła to:

Warunek konieczny różniczkowalnośd f. - jeśli f: (a,b) - R jest różniczkowalna w x» E (a,b) to jest ciągła w tym punkcie

Tw. Rolle'a - jeśli f:[a,b] - R jest 1) ciągła na [a,b], 2) różniczkowalna na (a,b), 3) f(a) = f(b) to istnieje pkt. Xo E (a,b) taki, że f(x₀) = 0

Tw. Lagrangc'a - jeśli f:[a,b] — R jest 1) ciągła n;

[a,b] 2) różniczkowalna na (a,b) to istnieje punkt x»

Tw.

Fermata (war. kon. istnienia ckstr. lokalnego) jeśli f: (a,b) — R jest różniczkowalna w Xo E (a,b) oraz ma w tym pkt. ekstr. lokal., to f(Xo) = 0

I    war. wystarczający istnienia ckstr. Lok.

MifM-o,    ■.&/«<•

(lub odwrotnie < i >) to f. ma w xo max(min) lok. właść

II    war. wystarczający istnienia ekstr. lok. Załóżmy, żef:(a,b) Rjest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu pkt Xo E (a,b). Jeśli: f(xo) = 0, f‘(Xo) != 0, to f ma w x₀ ekstremum lok. właść. Przy czym jest to max przy f"(xo) < 0, min przy f"(xo) > 0 Warunek konieczny istnienia pkt przegięcia - jeśli f:(a,b) - Rjest dwukrotnie różniczkowalna na (a,b) oraz Xo jest pkt przegięcia f, to f"(xo) = 0 Warunek wystarczający istnienia pkt przegięcia -f jest różniczkowalna w Xo,

V f"(x)>0 i V f"(x)<0

»=S (x₀)    '

Tw. o całkowaniu przez podstawienie - załóżmy, że I, J są przedziałami oraz g:I - J jest różniczkowalna na I, f:J R ma na przedziale J f. pierwotną F. Wówczas (f o g)g' ma całkę nieoznaczoną na I oraz

Tw. Ncwtona-Lcibniza - jeśli funkcja f:[a,b] — R

J f(x)dx=G(b)-G(a)

jest ciągła na [a,b], to °    , gdzie

G jest dowolną f pierwotną na przedziale [a,b]

IV. o całkowaniu przez podstawienie całki oznaczonej - załóżmy, że g:[a,b] — na [alfa,be ta] ma ciągłą pochodną na [a,b], g(a)=alfa, g(b) = beta, f:[alfa,beta] Rjest ciągła na [alfa,beta]. Wówczas

JfW<tes|₉U)d,

,_zór. S f(9{x))9'(x)dx= j f(t)dt

rzność całki oznaczonej - jeśli f,g E ; f(x) <= g(x)dla każdego x E [a,b] to:

Addytywność całki względem przedziałów całkowania - jeśli f E R[a,b], to dla dowolnego c E (a,b) f E R[a,c] „i” R[c,b] oraz

} f(x)dx=/f(x)<b₊; f(x)dx

taki, żi

Warunki wystarczające monotoniczności f. - niech f:I

- R, wówczas dla każdego x EI: f(x)=

a) =0 f stała b) >0 f rosnąca c) >= f niemalejąca d) <0 f

malejąca e) <=0 f nierosnąca

Tw. o monotoniczności - załóżmy, że f:I - R jest

różniczkowalna na I. Jeśli:

f jest rosnąca (malejąca) na I, to f(x) >= (<=) 0 dla

każdego x oraz f nie jest równa 0 na żadnym przedziale

zawartym w I

Reguła dc 1'Hospitala - jeśli limf(x)=limg(x)=0 lub ±oo

Całkowe o wartości średniej-jeśli f:[a,b] - Rjest ciągła na przedziale [a,b], to

Warunek konieczny zbieżności szeregu - Jeśli

szereg ^^a" jest zbieżny, to ^an⁼⁰ Kreytcrium d'Alambcrta - załóżmy, że

_limr(*L, _limM_=l

z istnieje *•**. S’M    to

jeśli g<l to ^an jest bezwzględnie zbieżny jeśli    to ^an jest rozbieżny

Kryterium Cauchy'ego - niech 9~    »l°nl

jeśli g<l to ^ a_n jest bezwzględnie zbieżny

jeśli l^<g^^co to 2-. ^an jest rozbieżny Kryterium Leibniza - jeśli ciąg (a„) jest monotonicznie zbieżny do 0, to szereg naprzemienny y (—i)ⁿQ

“    " jest zbieżny

(albo znaki na odwrót)

Całka nieoznaczona -f:I — R. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na przedziale I nazywamy funkcją pierwotną i oznaczamy pizez:

/ f(x)dt lub J f J f(x)dx=F(x)+C,CeR Tw. o całkowaniu przez części - załóżmy, że f,g:I - R są różniczkowalne na I, istnieje całka nieoznaczona z funkcji fg na I. Wówczas istnieje całka nieoznaczona z funkcji fg' na I oraz zachodzi: f fd -fd~J f 9