17516

E sty ma tor nai efekty ^{1 2} niej s/y

Estymator T_n parametru & o możliwie małej wariancji D²(T_n):

D²(rJ = £[r„-£(r„)]²    (i.3)

nazywa się estymatorem efektywnym Efektywność estymatora jest więc związana z wielkością rozrzutu wartości estymatora dookoła wartości jego nadziei matematycznej. Stosowanie w praktyce estymatora efektywnego oznacza popełnienie (in plus lub in minus) małego błędu średniego szacunku D( T„ ), który jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji estymatora nieobciążonego. Jest to miara określająca wielkość błędu przypadkowego (losowego).

Gdy wybrany estymator T_n parametru 0 ma najmniejszą wariancję spośród wszystkich nieobciążonych estymatorów tego samego parametru¹, wówczas estymator taki nazywa się najefektywniejszym estymatorem dla parametru 0 1.2. Estymacja punktowa

Estymacja punktowa sprowadza się do znalezienia takiej liczby, którą będzie można uznać za najlepsze przybliżenie (ocenę) nieznanego parametru rozkładu badanej zmiennej losowej w populacji generalnej. Efektem estymacji punktowej jest więc liczba. Przedmiotem estymacji punktowej może być albo jeden parametr, albo też większa liczba parametrów populacji generalnej. Aby uzyskać mały błąd szacunku, należy zapewnić losowy dobór próby, dostateczną jej liczebność oraz dobór możliwie najlepszego estymatora.

Estymacja wartości średniej w populacji generalnej

Najpopularniejszym i najczęściej stosowanym estymatorem wartości średniej w populacji jest średnia z próby² X (przed jej wylosowaniem). Załóżmy, że badamy populację o dowolnym rozkładzie z wartością oczekiwaną

(średnią) E(x)=/j

Z tej populacji losujemy próbę n-elementową prostą. Średnia

^elementowej próby losowej jest nieobdążonym estymatorem wartości średniej zmiennej X w populacji generalnej. Średnia z próby X jest estymatorem zgodnym i najefektywniejszym parametru //..

Sformułujemy obecnie ważne dla wnioskowania statystycznego twierdzenie. Niech ceclia X ma w populacji rozkład normalny, ze średnią /i i odchyleniem standardowym <7. Z populacji tej pobieramy n-elementową próbę losową prostą. Dowodzi się, że przy podanych wyżej założeniach średnia z próby X będąca zmienną losową ma rozkład normalny ze średnią E( x) =/y i odchyleniem standardowym D(x) = cr/ Jn. Możemy więc zapisać:

2

1

¹ Dla tego samego parametru G można znaleźć kilka różnych estymatorów.

2

Jeśli mówimy o średniej z próby przed jej wylosowaniem, to traktujemy ją jako zmienną losową i oznaczamy dużą literą x ■ Jeśli jednak próba zostanie już wylosowana, to konkretna wartość średniej obliczona na podstawie lej próby będzie oznaczana literą X Oczywiście dotyczy to wszystkich innych charakterystyk z próby (por. książkę W. Sadowskiego [1995, s. 92-93]).