22939

1 KOLOKWIUM B - 21 listopada 2012 r.

1.    Kolorujemy szachownicę 5x5 kolorami białym i czarnym. Ile jest różnych (ze względu na obroty) pokolorowań, w których białych pól jest 15 zaś czarnych 10?

2.    Niech I\ będzie ideałem w pierścieniu P\ oraz h ideałem w pierścieniu /V Wykaż, że /|X/₂ jest ideałem w pierścieniu Pi x P₂.

(a)    Czy zbiór B = {/ € C[0.1] : /'(1) = 0} jest podpierścienicm pierścienia (C[0,1], +, •)?

(b)    Czy zbiór B jest ideałem pierścienia (C[0,1], +, •)?

3.    Udowodnij, że jeśli grupa ma dokładnie dwie podgrupy, to jest ona grupą cykliczną, której rząd jest liczł>ą pierwszą.

- Wypisz wszystkie p-podgrupy grupy Z,*₂ (niekoniecznie Sylowa!).

4.    Udowodnij, że jeśli element a jest nicrozkładalny i a ~ 6. to element b też jest nierozkładalny.

Zbadaj jakiego typu elementem (odwracalnym, nierozkładalnym. rozkładal-nym) jest dany element pierścienia Z[J): a) 15, b) 6.

5.    Ideał / pierścienia A nazywamy pierwszym, jeśli I -fi A oraz spełniony jest warunek:

Va, b € A (ab € / => a € / V 6 € /).

Niech n 6 N U {0}0. Sprawdź, że ideał nZ jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy 11 jest liczbą pierwszą lub n = 0.

POWODZENIA!