23346

43) Podaj podstawowe założenia dotyczące równania Schrodingera . Napisz równanie zależne od czasu i stacjonarne równanie Schrodingera, objaśnij wielkości w nich występujące oraz podaj własności jakie musi spełniać funkcja falowa.

Założenia dotyczące równania Schrodingera:

1.    Równanie musi być zgodne z postulatami de Broglie i Einsteina

2.    Równanie musi być zgodne ze związkiem na całkowitą energię:

E = ■§- + V (pomija się energię masy spoczynkowej)

3.    Równanie musi być liniowe względem ^(*.0, czyli jeżeli ^,(*.0 i ^₂(x,t) są rozwiązaniami odpowiadającymi tej samej energii potencjalnej to dowolna kombinacja liniowa tych rozwiązań też jest rozwiązaniem. Postulat liniowości zapewnia, że dodając do siebie funkcje falowe tworzymy charakterystyczną dla fal interferencję konstruktywną i destruktywną.

4.    Energia potencjalna przedstawiona dla przypadku ogólnego: V=V(x,t) musi być wielkością stałą gdyż dla V=const cząstka jest swobodna i wówczas fala stowarzyszona ma stałą częstość v oraz długość A.

5.    Całkowita energia E = hv = E_k + V. z hipotezy de Broglie: E_k = ■§£ = ■£?.

Wykorzystujemy związki: (O = 2/rv,    h = —:

I wówczas całkowita energia przedstawiona jest równaniem: h<y =    + V

Równanie Schrodingera ma postać :

— A^(r, t) + V(r, t )V(r_f t) =

2m    dt

ot

a dla przypadku jednowymiarowego: h² d‘¥(x,Q ~2m d?

Stacjonarne równanie Scliródingera:

^00 _{+ v(x)ę>(x) = Eip(x)}

2 m ox~

gdzie:

h - stała Plancka podzielona przez 2n m - masa cząstki

*P lub ^<P- funkcja falowa będąca rozwiązaniem tego równania V- energia potencjalna

Własności .które musi spełniać funkcja falowa:

1.    Musi być klasy C¹

2.    Musi być jednoznaczna i ograniczona

3.    jej kwadrat musi być gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pobliżu punktu o współrzędnej x w chwili t.

Rozwiązaniem równania Schrodingera jest funkcja: ( iE

^vP(r,t) = ę?(r)explf