25122

1)    Jeśli H= {e), to H jest cykliczną.

2)    Jeśli H={e), to istnieje x e H i x * e.

Zatem x=gⁿe H, n=min

Dla dowolnego h e H, h = g^m, m = kn+r, 0 < r < n h = g"'=g^k"⁺'= (g")^k-g^r

Stąd

g^r = (gⁿ)^k h e H => (ponieważ n - minimalne) r=0 => m= kn g^,,'=(g^,,)^k H = <g">

Twierdzenie 5.4.

Rząd dowolnego elementu grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu tej grupy. Dowód.

Wynika z twierdzenia Lagrange^ła, ponieważ rząd dowolnego elementu jest równy rzędowi podgrupy, generowanej przez ten element.

Twierdzenie 5.5.

Jeżeli grupa G jest skończona rzędu n, to dla dowolnego g e G, gⁿ = e.

Dowód.

Niech r(g) = m, oraz IGI=n. Na podstawie twierdzenia 5.4 n = mk.

Wtedy g" = g^mk= (g^m)^k = e^k=e.

Twierdzenie 5.6.

Jeżeli p jest liczbą pierwszą i IGI = p, to G jest grupą cykliczną. Dowód.

Dla dowolnego elementu g e G, g^p= e.

Rozpatrzmy podgrupę H = <g>, wtedy IHI = p;

Ponieważ H - podgrupa G i IHI=IGI => H = G.

Przykład

Multiplikatywna grupa klas reszt modulo m Z_m*= { [k] = k mod m: k e N, NWD(k,m)=l )

z działaniem:

[x]*[y] =[ xy]