8360

Zauważmy, że y. M ——— jest szeregiem geometrycznym o ilorazie

n-0    |    X₀|

q = * *° < i, a z tego wynika, że szereg geometryczny jest zbieżny. (2);

1*1 *0 |

Z (1) i (2) na podstawę l kryterium porównawczego szereg 53" >■ ^(x—*<■)" jest

bezwzględnie zbieżny.

Ad 2° (nie wprost)

Hipoteza: 3(x₃sk \ Ktx„,|x..—x„|) i ^a„(x3—x₀)''jest zbieżny => na

podstawie 1° części dowodu : v(xe k(x„,|x, —x„|) > szereg    (x—x„)"

jest zbieżny    (3);

Z założeń hipotezy x, eK(x₀,|x, -x„|)    (4);

Z (1) i (2) wynika, że    —x_Q)" jestzbieżny,

co jest sprzeczne z założeniami.

DEFINICJA 18.2 (PROMIEŃ ZBIEŻNOŚCI SZEREGU POTĘGOWEGO) Niech:    Z = {xeK: ya..(x—x„)" - zbieżny)

n-O

Wówczas:

^R    ' P^romieh zbieżności szeregu potęgowego:

K(x₀, R) - koło zbieżności szeregu potęgowego;

K(Xo,R) = {xe K: | x-x₀1 < R};

TWIERDZENIE 18.2 (WŁASNOŚCI SZEREGU POTĘGOWEGO)

Z: R - promień zbieżności szeregu 53^,»^(x_x«⁾"

T: 53 „ (^x_*o)" jestzbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie w K(x₀,R).

Dowód:

jest zbieżny bezwzględnie w K(x₀,R) <= Tw. 18.1 (największe koło, w którym jest zbieżny);

53» (x—x„)" j_est zbieżny niemal jednostajnie w K(Xo,R)»

’ ■ ) 51    *.) jestzbieżny jednostajnie w A;

K-mtgo

n:0