104308

Każdej liczbie wymiernej odpowiada punkt na prostej. Chcemy rozszerzyć tak, by każdemu punktowi odpowiadała pewna liczba - odpowiedni ość (między) liczb(ami) i wielkości(ami) geometrycznymi.

Możemy dowolnie dokładnie przybliżać liczby niewymierne wymiernymi, ale nigdy nie trafimy.

Twierdzenie. Jeżeli wszystkie piuikty prostej rozpadają się na 2 klasy tego typu, że każdy punkt pierwszej klasy leży na lewo od każdego punktu drugiej klasy, to istnieje jeden i tylko jeden punkt, który tworzy ten podział wszystkich punktów na 2 klasy, czyli rozcięcie prostej. (Aksjomat ciągłości)

Gwarantuje istnienie punktu przecięcia w konstrukcji: b

VK|, K₂ {Ki u K₂ = R a K| n K₂ = 0 a Vxe K₁ Vye K₂ x [2 różne zmienne - musimy wyrazić zależność] ^ y => 3!p [(Ki = {x€ R: x £ p} a K₂ = {xe R: x > p}) v (Ki = (xe R: x < p) a K₂ = {xe R: x > p}) v (Ki = {xe R x < p} a K₂ = {xe R x > p})]}

(Al, A2) - przekrój

Przekrojami Dedekinda nazywamy paiy (A, B) takie, że:

(1)    A, B * 0 (gdyby (choć) jeden ze zbiorów był pusty, nie wyznaczałyby żadnej liczby)

(2)    A, BcQ

(3)    A u B = Q

(4)    A n B = 0

(5)    Vxe A Vye B x < y

(6)    Vxe A 3y€ A x < y (zbiór A jest niedomknięty od dołu) lub B od góry ?

R to zbiór wszystkich przekrojów Dedekinda.

R = {(A, B): (A, B) jest przekrojem Dedekinda}

Porządek - kiedy przekroje są mniejsze? Porównywanie liczb rzeczywistych.

Porządek określony na liczbach Dedekinda.

(Al, A2) < (BI, B2) *>Df Al £ BI Jak zdefiniować działania - + i.

/ biory pr/dk żalne

Ogólnie - skończone i nieskończone; ściśle - nieskończone.

Vx (x jest przeliczalny <=>/y x » co)

Vx (x jest przeliczalny <=>Dfcard(x) = to)

Uwaga. Vx {x jest przeliczalny $=* 3f [f: x — <o jest iniekcją a Vn 3zex f(z) > n]}

Możemy wtedy określić relację Rcć taką, że (y, z)e R <=> f(y) < f(z)

(x, R) = (co, <) - f jest nieograniczoną iniekcją (inaczej nie byłoby tego izomorfizmu -urwałby się.

[porządek typu co?]