104311

Niech B ę A, B * 0. B ę U, więc 3xe B Vye B x <_Ry. Stąd Vye Bx<_sy, gdyż B ę A. □

Niech zmienne a, p, y, Ó (ewentualnie z indeksami) będą zmiennymi dla liczb porządkowych. Va <p(a) oznacza Vx [On(x) => q>(x)].

Piszemy:

-    a < p zamiast ae p,

-    a < P zamiast acP.

-    a + 1 zamiast a u {a}.

e i ę obcięte do liczb porządkowych są liniowymi porządkami, odpowiednio ostrym i nieostrym.

Va On(a U {a}) oraz a u {a} jest następnikiem (najmniejszą liczbą większą) a w sensie powyższego porządku.

Twierdzenie: Va ae a

Dowód. Gdyby ae a, to (a, a)e e a, czyli (a, e _a) nie byłoby ostrym porządkiem.

Twierdzenie:

(1)    Va, p [a ę p <=> (ae p v a = p)]

(2)    Va, P [ae p <=> (a ę p a a * p)]

Dowód.

(1) . Ustalmy a, p.

(^) Załóżmy, że a ę p. Przypuśćmy też, że a * p. Stąd P - a * 0. Istnieje więc y e -najmniejszy element P - a. Pokażemy, że a = y.

(ę) Niech óe a. 6 * y, bo ye a (bo y e P - a). Mamy więc óe y v ye ó. Jeśli ye 6, to ye a, bo Óe a (z przechodniości a, e), co jest niemożliwe. Zatem 6e y.

(□) Niech 6e y. Z przechodniości p, óe p, ale 6 e P - a, bo y e -najmniejszy w p - a. Zatem óe a.

Pokazaliśmy, że y = a, ponadto ye p. Zatem ae p.

(«=) Załóżmy, że ae P v a = p.

(przypadek 1). Załóżmy, że ae p. p jest przechodni, więc aęp.

(przypadek 2). Załóżmy, że a = p. Zatem aęp.

(2) . Ustalmy a, p.

(=>) Załóżmy, że ae p. Z przechodniości P wynika, że a ę p, z Uwagi wynika, że a * p.

(^=) Załóżmy, że a ę p a a * p. Na mocy (1) ae P v a = p, z zał. ae p.

Twierdzenie. Dla dowolnych a, p, y zachodzi

(1) aęa

(2)    (a ę p a p ę a) => a = p

(3)    (a ę p a p ę y) => a ę y

(4)    a ę p v p ę a

(5)    każdy niepusty zbiór liczb porządkowych ma element najmniejszy [na mocy poprzedniego twierdzenia jest bez znaczenia, czy e, czy ę]

Dowód.

(l)-(3) - oczywiste.