104351

Czy Ve V?

Frege - V<p 3x Vy [y€ x <=> <p(y)]

Każda własność wyznacza zbiór.

Bodziec do stworzenia aksjomatycznej teorii mnogości.

Dotąd uważano, że wszystkie obiekty matematyczne są zbiorami. Wniosek: Istnieją obiekty matematyczne opisywane formułami, które nie są zbiorami. Klasy mają elementy, ale same nie należą do teorii mnogości.

Każda własność wyznacza zbiór, który jest w uniwersum tej teorii.

Ograniczony schemat wyróżniania - wyróżniamy podzbiory tylko pewnego określonego, ustalonego, istniejącego zbioru, z którego bierzemy elementy, a nie w ogóle.

V(p [tej zmiennej nie ma w naszym języku] Vx 3y Vz {zey [ze x a <j>(z)]}

Twierdzenie. Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów. ~ 3y Vx xey Dowód. Załóżmy, że 3y Vx xey. Niech A - zbiór taki, że Vx xe A.

3y Vw [wey<=> (we A a we w)] tp - dowolna własność, w szczególności we w.

Niech B - zbiór taki, że Vw [we B <=> (we A a we w)].

W szczególności Be B o (Be A a Be B).

Ponieważ Be A jest prawdą (i zał. - zbiór wszystkich zbiorów zawiera wszystko), zatem Be B o Be B. Sprzeczność.

Nie wszystko da się powiedzieć o teorii na gruncie tej teorii - metateoria (spójrżenie z góry).

Vx Vy (x n y = df {z: ze x a ze y})

Vx Vy (x -y = df {z: ze x a ze y})

Vx Vy {y = nx <=> Vw [wey <=> Vt (tex ^ we t)]} n{{UHlUl, 3}} = {1} n0 = y <=> Vw [wey <=> Vt (te 0 => we t)] nM = (xe U: xe A dla dowolnego Ae M}