108798

POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW. Pochodną pochodnej nazywamy pochodną drugiego rzędu i oznaczamy f”: f'(x) = lim ^    ⁺ ^itd. Używamy oznaczeń f’, f”,

h-H>    /,

P", f*⁴*,...,^. Mówimy, że f jest klasy C", jeśli ma ciągłą pochodną n-tego rzędu. Mówimy, że fu*) — R jest wypukła (wklęsła) jeśli

A    +    +    (y).

x. >■€(<!. b) (e[0.1]

Tw ierdzenie: Załóżmy, że f ma pochodną drugiego rzędu w (a,b). Wówczas f jest wypukła (wklęsła) w (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy f\x) ^(^)0    • Szkic dowodu: załóżmy,

że f jest wypukła: xi<X2<X3-ai<a2<ct3; tgai<tga2<tgc*3; f'(xi)<f'(x2)<f'(x3). Zatem P jest rosnąca. Zatem P’ jest dodatnia (>). Jeśli f jest wypukła w (xo-c, Xo) i wklęsła w (xo. Xo+e) lub na odwrót, to Xo jest punktem przegięcia. Wniosek: Jeśli Xo jest p. przegięcia wykresu f to P’(xo)=0 (o ile istnieje). Jest to warunek konieczny. Natomiast warunkiem wystarczających na to, aby xo był p. przegięcia jest zmiana znaku drugiej pochodnej w otoczeniu Xo. Zagadnienie aproksymacji:

Z definicji pochodnej fW = Um ^fM~^fM ; ■ _im[ f™~ fW~ f'M*-*.)]. _Q

X-X₀    x-x₀

Wynika stąd, że prosta o równaniu y = f(x₀)+ f\x₀)(x- x₀) przybliża wykres funkcji f w

pobliżu punktu •*<> • Hm

f oo-

^1 = 0;

<<0 J

f(x)=*y(x) dla x bliskich x₀

f(^x)^a f(^xo)⁺ f\^xoX^x-*o) dla x bliskich ^xo. Oznaczamy ^r(^x) = f(^x)~y(.^x). Wówczas

_r( _x)

f(*)=y(*)+r(x). f(x) = f(x₀) + f\x₀)(x-x₀) + r(x) przy czym Hjn-= 0.

⁹ x~^x0

Mówimy, że reszta r(x) jest nieskończenie mała rzędu wyższego niż 1 w p. •*<>. Tw ierdzenie Taylora. Załóżmy, że f jest klasy C’ w przedziale (a,b), x₀ e (a,b) oraz

W_n(x)= f(x₀)+ f'(x₀X*-x₀) +

r(x₀)(x-x₀)=

f"^:(x₀)(x-x₀)"

Wówczas różnica

2!    n!

^r,.(x) = f(x) — W„(x) jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż 1 w p. x_Q, tzn.

lim

r_n(x)

(x-x₀)

7 — 0. Zatem wielomian W„(x) przybliża bardzo dokładnie f w otoczeniu p. x₀.

n!

Wzór: f{x)= f(x₀) + f (x₀)(x-x₀) + ...+

(x- x₀)" + r„(x) nazywamy w zorem

Taylora. Jeśli *o = 0, to otrzymujemy wzór Maclaurina

fⁱⁿ⁾( 0)

f(x)=f(0)+f(0)x+...+

r.X^x)

n!

x" +r„(x). Dowód tw. Taylora. Hm .    . „

"^{v    J} *-%(x-x₀)

=(S) =

f(^x)-(f(^xo)+ f\^xo)(X - X₀) + ...+    \x-X₀)ⁿ)    r.H

lim

(x-x₀)'

nx)-(f'(x_Q)+...+

^f-^(x-x )-(n-1)!_°    _ (°) = ... (po n krokach) =

lim-

*-*o

f'"'(x)-f ^nl(x )

lim ----— = 0. Uw aga: Resztę we wzorze Taylora można wyrazie w postaci

*-»*• n!

n(x-x₀Y

(c)

Lagrange’a: r_n(x) = —-—(x —x₀) , gdzie c jest punktem pośrednim między x i xo.

(n+l)l

Pozwala to na oszacowanie dokładności przybliżenia.