120758

Następnie pokażemy, że zbieżność jednostajna jest zbieżnością w sensie metryki Czebyszewa..

WNIOSEK 10.1

Niech (f„)„^e „ c B(X,Y)

X

T:    f„    i f o l™.dc(f„.f) =0

a-Mt

Dowód:

(=>)

NIM

X

=? f"    f « X „,iv X X d(f„(x),f(x)) <

U

V 3 XX

»0 n₀«JV riSri,,

^s^Pd(^f„(x).fO())s|^<£

-U

d_c(f„.f)< ^

Pokazaliśmy, że jeżeli ciąg jest zbieżny jednostajnie to jest zbieżny w sensie metryki Czebyszewa.

(*=)

3 V d_c(f,„f)<£ «    3 V sup d(f„(x),f(x)) < _e

oO notżN nZrio    <->0 fioGW n^n,,

=* v 3 v \/ d(f„(x),f(x)) < _e

t~>0 n_ne rV n2n₀ v«X

A zatem badanie czy ciąg jest zbieżny jednostajnie będzie się ograniczać do badania zbieżności w sensie odległości Czebyszewa.

WNIOSEK 10.2

Granica jednostajna ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

X

Niech (f„)„^e „ C C(X,Y) Czebyszewa}

f {czyli w sensie metryki