120761

df(x„)(h) ^ d²f (x₀)(/i)

1!

T:

d^m 'f (x₀)(h) <Tf (x„10 )i)(/i)

(m-l)l    m!

Dowód:

Niech: d>(0 = f(Xo^+,,')^eR , ‘i>:[o,i]-»R Pokażemy, że <J> spełnia założenia twierdzenia Taylora w [0,1] i że k-ta pochodna w punkcie t jest równa k-tej różniczce, czyli:    (t) = d^k f (x₀ + th)(h) .

Niech:

‘ł^/:[0.1]3t ->(x„+r/i)e R"

Zauważmy, że:

(f o 4-)(r) = fmt)] = f (x₀ +t/i) =<&(()

Wiadomo, że: d<*(r)(l)=cP(r)l Z drugiej strony:

d<t(rXl) =df(u |„_^„)    = [df(x„ +th)](h) ,

bo d'i<rXl)=^lI^,(r) l = h l Z powyższego wynika:

<U (t) =df(x„ +rfi)(h)

Analogicznie można pokazać:

*“’«) = d^kf(x₀ +th)(h) .

Dla t = 0 <P^,k,(0) =d^kf(x₀)(h)

Z faktu, że f e c”(U) wynika, że <J>eC"([o,i])

4^J- jest klasy c“ , f - jest klasy C^m - z tego wynika, że <t> jest klasy C^m na odcinku [0,1],

Są więc spełnione założenia twierdzenia Taylora dla <t> w[0,l]

Dla t = 0, h = 1 wzór Taylora przedstawia się następująco:

ej* (O)    <t>‘

<£(!) =<t>(0)4--— 1 + ...+

'(O)

(m-l)ł

Zatem:

f(x₀ + h) = f(x_a) +

m*<,m ₁ d²f(x_am 1! 21

d-'f(x₀)(ł») _| d"f(x_o+0im

(m-l)l    ml

DEFINICJA 13.3 fEKSTREMUM LOKALNE! Niech f:R"-*R

Powiemy, że funkcja f osiąga wx₀ należącym do dziedziny maksimum (minimum) lokalne