123059

Przyldad

Niech/:R^:->R

,    , _ [l, gdy v = O luby = O,

[O, w przeciwnym przypadku

Wtedy istnieją pochodne cząstkowe funkcji/w prmkcie (0,0), choć funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.

Przykład

Niech/: R^; -> R

gdy

gdy

(-■'f* >■) * (0,0), (•*>.*’) = (0.0).

[ **y

/(•*..v) = |.r⁶ + v^!’

[o-

Zbadać ciągłość fimkcji /oraz wyznaczyć pochodną kierunkową w kierunku dowolnego wektora w punkcie ,»° = (0,0).

Niech ^{v =} [v|,v,]*0, v - niezerowy wektor unonnowany, tzn v =1

Wtedy

Z>./(0, 0)=lim

v    ł-» 0

/((0,0)₊r(v„v_!))-/(0,0) _{= lim}

1    I-* O

/(/v„ A _; )-/(0, 0)_ t

= lim

l-*0

/ V, V,

/V+/V

i=hm/-

“i iV, +Vj

» "T"

= lim /    [ ¹ ,

' r [l v\ +v₂

jo, gdyv₂=0l_ ₀ [0, gdy v₂ * Oj

Udowodniliśmy, że ishtieje |>ochodna kierunkowa funkcji w punkcie (0,0) w kieninku dowolnego wektora.

Jednakże funkcja nie jest ciągła w tym punkcie, bo dla ciągu (x , >■„)=( -, l

\n n

VneN: x„±0,y„*0;

hm(jr„,y„) = (0,0)

oraz

i

lim/(.x„,.v„)=lim    ¹ *0 = /(0,0),

n-*"o    «-*<» _ 1    2

~ n⁶

zatem na podstawie definicji Heinego/ € C(0, 0) opracował Jacek Zańko