Brak wyk 7 z 06.04.2000

Wyk 8 PA 13.04.2000

ANALIZA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH METODĄ ZMIENNYCH STANU

1.Wprowadzenie

metody opisu własności układu dynamicznego (liniowego):

(układ dynamiczny to układ w którym sygnały czyli przebiegi wielkości fizycznych rozpatruje się jako funkcje czasu)

Równanie różniczkowe (całkowe, różnicowe)

Model wejściowo - wyjściowy

• charakterystyki statyczne

• charakterystyki dynamiczne

• czasowe (odpowiedzi na wymuszenie skokowe i impulsowe)

• częstotliwościowe (odpowiedzi na wymuszenia harmoniczen),

transmitancja operatorowa i widma , rachunek operatorowy.

Kolejną metodą układów dynamicznych jest metoda amiennych stanu .

Zalety metody zmiennych stanu w stosunku do metod A B C:

• ujmują więcej niż relacje między we (+zakłócenia ) a wy, ponieważ uwzględniają matematyczny opiszjawisk zachodzących wewnątrz układu sterownia

• pozwalają na ocenę własności dynamicznych poprzez matematyczny opis sygnałów we, wy i stanu układu - równania stanu równania wy obiektu

• pozwalają na ocenę sterowalności i obserwowalności , czyli pozwalają oceni czy można skutecznie układem sterować czyli określają pełną synamikę układu .

• pozwalają na ocene własności dynamicznych układu nieliniowych

Pojęcia stanu układu syn.

STAN UKŁADU - najamniej liczny zbiór wielkości ,którego znajomość w chwili pocątkowej t_o i znajomości wymuszeń w przedziale (t₀,t] pozwalają wyznaczyć stan i odpowiedź układu w dowowlnej chwili t>t_o

STAN UKŁADU (2) - NAJMNIEJ LICZNY ZBIÓR wielkości , które poozwalają na ocenę zachowania się obiektu (układu ) w przyszłości , czyli jednoznacznie określają zachowanie układu.

STAN UKŁADU (3) - zbiórliniowo niezależnych wielkości , który:

• jednoznacznie określa skutki przyszłych odddziaływań na układ

• jest wystarczający do wyznaczenia zachowania się układu (procesu) w przyszłości

Określenia stanu układu dotyczą układów dla których znajomość stanu układu w chwili początkowej t0 i wymuszenia u(t) t>t0 pozwala wyznaczyć stan i odpowiedź układu t>t0

Wielkości x1, x2, ... ,xn nazywamy zmiennymi stanu lub współrzędnymi stanu.

stan układu można interpretować jako pamięć , ponieważ na podstawie stanu ( w przyszłości można określić stan czyli własności (zachowanie się ) obiektu w przyszłości

rys. Model układu dynamicznego

Przykład : ...

Model matematyczny przestrzeni stanów , wektor stanu , trajektoria stanu.

1. 1. rozpatrujemy dowolny, dynamiczny , ciągły, liniowy i nieliniowy układ tj. taki który może być opisany równaniem różniczkowym lub układem równań różniczkowych.

2. 2. istnieją przypadki, że równanie różniczkowe lub układu równań różniczkowych można doprowadzić do postaci normalnej, czyli do układu równań różniczkowych, zwyczajnych I rzędu.

• Równanie różniczkowe zwyczajne to związek funkcji jednej zmiennej niezależnej i pochodnej tej funkcji.

• rząd równań różniczkowych

...

Kolejna folia

Wykresy

Współrzędne stanu zmieniają się w czasie , zgodnie z rozwiązaniami n- równań różniczkowych.

Równanie stanu i równanie wyjścia .

stan dynamiczny układu liniowego i stacjonarnego określa funkcjny zapis wektorowy:

X'(t) = X'[X(t),U(t)]

Sygnały wy dynamicznego układu liniowego i stacjonarnego określa funkcyjny zapis wektorowy: Y(T) = Y[X(t)]

Równania różniczkowe odpowiadające powyższym zapisom są nastepujące :

X'(t) = X'[X(t),U(t)]

x'_n(t) = a₁₁ *x₁(t) + ... a_1nx_n(t) +b₁₁u₁(t) + ... b_1ru_r(t)

x₂'(t) = a_1nx₁(t) + ... a_2nx_n(t) +b₂₁u₁(t) + ... b_2ru_r(t)

x_n'(t) = a_1nx₁(t) + ... a_mnx_n(t) +b_n1u₁ (t) + ... b_nru_r(t)

Y(t) =Y[X(t)]

y₁(t) = c₁₁x₁(t) + ... c_1nx_n(t)

y₂(t) = c₂₁x₁(t) + ... c_2nx_n(t)

y₁(t) = c_m1x₁(t) + ... c_mnx_n(t)

X'(t) = A*X(t) + B*U(t) - równanie stanu

Y(t) = C*X(t) - równanie wyjścia

U(t) - wektor syg. We	X(t) - wektor stanu	Y(t) - wektor syg. Wy
A- macierz stanu o wymiarach n x n	B - macierz wejść wymiarach n x r	C - macierz wyjść o wymiarach m. x n

Układ opisany równaniami stanu i równaniami wyjścia może być przedstawiony w formacie schematu blokowego.

Rys. Schemat blokowy układu opisanego równaniem stanu i równaniem wyjścia.

Przedstawiony model ukadu dynamicznego można traktować jako podstawowy schemat opisany równaniami stanu i równaniami wy.

Schemat ten ulega modyfikacji zależnie od równań stanu i równań wy. Równania stanu i równania wy zależą od własności danego układu.

A. Przypadek jednowymiarowego układu sterowania, gdy wektor U(t) i Y(t) są reprezentowane przez odpowiednio przez pojedyńcze składowe u(t)i y(t).

---