WIADOMOŚCI PODSTAWOWE
Kryształ jest jedną z najczęściej spotykanych form skupienia materii. Wyróżnia się on wysokim stopniem uporządkowania przestrzennego struktury wewnętrznej. Można wyróżnić podstawowy układ atomów powielany w całej strukturze, zwany komórką elementarną. Aby odtworzyć strukturę całego kryształu wystarczy znać układ pojedynczej komórki elementarnej. Odtwarzania dokonujemy przez przesunięcia komórki elementarnej, zgodnie z następującym wzorem:
gdzie: r - promień wodzący dowolnego punktu w komórce elementarnej
R - promień wodzący równoważnego mu punktu w innej komórce
n1,n2,n3 - liczby całkowite (0,±1,±2,...)
a,b,c - wektory bazowe sieci (wyznaczające komórkę elementarną - jedną z wielu możliwych)
W sieci krystalicznej możemy wyróżnić tzw. płaszczyzny sieciowe które oznaczamy za pomocą wskaźnika Millera.
Wskaźnik Millera(hkl) wyznacza rodzinę płaszczyzn sieciowych, które dzielą podstawowe jednostki sieciowe na odpowiednio h,k i l nowych odcinków. W przypadku równoległości do którejś z osi odpowiadający jej wskaźnik przyjmujemy jako zero. Wskaźnik podajemy w nawiasach okrągłych i podzielony przez ewentualny wspólny dzielnik.
Odległość między płaszczyznową d(hkl) można wyrazić przez stałe sieciowe i wskaźnik Millera(hkl).
Wzór na tą odległość ma postać:
gdzie:
Z istnieniem płaszczyzn sieciowych związane jest zjawisko tzw. odbicia Bragga. Ma ono charakter interferencyjny. Kiedy kierujemy na dany kryształ źródło promieniowania rentgenowskiego, elektrony atomów kryształu poruszając się zgodnie z wymuszającym ich drgania polem elektrycznym fali padającej same stają się źródłami promieniowania elektromagnetycznego o tej samej częstotliwości lecz rozchodzą się kuliście w przestrzeni te wymuszone fale interferują między sobą, dając w pewnych kierunkach wzmocnienia, obserwowane jako wypadkowa fala odbita. Kierunki w których będą obserwowane wzmocnienia są określone przez sieć przestrzenną i kierunek oraz długość fali promieniowania padającego.
Z optyki falowej wiemy, że wzmocnienia interferujących fal zachodzą wówczas , gdy różnica dróg przebytych przez te fale jest równa całkowitej wielokrotności długości fali. W przypadku odbicia od płaszczyzn sieciowych warunek ten wyraża się równaniem Wulfa-Bragga:
gdzie:
n - liczba całkowita (zwana rzędem odbicia)
l - długość fali promieniowania padającego
d(hkl) - odległość miedzy płaszczyznami odbijającymi
q - kąt padania (połysku) mierzony między kierunkami fali padającej a płaszczyzną sieciową
Dzięki zjawisku odbicia Bragga możliwe jest zatem wyliczenie stałych sieciowych oraz odległości międzypłaszczyznowych na podstawie pomiarów kątów odbicia promieniowania rentgenowskiego od badanego kryształu.
OPIS ĆWICZENIA
Nasze doświadczenie miało charakter modelowy. Badaliśmy odbicie mikrofal od modeli kryształów, które to zjawisko jest analogiczne do zjawiska odbicia Bragga. Układ doświadczalny składał się z klistrona (wytwarzającego mikrofale) za którym umieszczona była parafinowa soczewka skupiająca wiązkę promieniowania mikrofalowego na badanym modelu kryształu, detektora przed którym również była umieszczona soczewka z parafiny. Detektor osadzony był na ruchomym ramieniu. Detektor podłączaliśmy z oscyloskopem i miernikiem z użyciem wzmacniacza i bez. Model kryształu znajdował się na obrotowej podstawie z możliwością odczytu kąta obrotu. Kąt odbicia znajdowaliśmy obracając model i ramię detektora.
Badania rozpoczęliśmy od styropianowego modelu kryształu o sieci rombowej w którym płaszczyzna sieciowe wykonane były jako tekturowe płytki. Pomiary miały na celu ustalenie długości fali (którą znaliśmy jedynie w przybliżeniu). Kolejnym modelem kryształu był model heksagonalny o największym upakowaniu złożony z polistyrenowych kulek.
POMIARY
Pierwszą czynnością był pomiar odległości miedzy tekturowymi płytkami (zmierzyliśmy za pomocą linijki odległość pomiędzy wszystkimi płytkami i do obliczeń użyliśmy średniej odległości)
d=(37±1)
Kolejną czynnością było obliczenie przybliżonych oczekiwanych kątów odbicia przyjmując długość fal lo =3* 10-2 m.
Otrzymaliśmy
W pomiarach otrzymaliśmy następujące wyniki
dla płaszczyzn ustawionych prostopadle do podłoża Wskaźnik Millera (0,1,0)
Otrzymane wyniki są w przybliżeniu zgodne z oczekiwaniami. Na ich podstawie ze wzoru Wulfa-Bragga obliczyliśmy długość fali
Kolejnym modelem kryształu był model o strukturze heksagonalnej. Zmierzona przez nas średnica kulek przy pomocy suwmiarki wynosiła 47,0±0,1 mm.
Obliczyliśmy przewidywane kąty odbicia dla wyróżnionych płaszczyzn.
1. Wskaźnik Millera (1,0,0)
odległość międzypłaszczyznami d=39±1[mm]
Przewidywany kąt odbicia q1=24±5
q2=56±16
2. Wskaźnik Millera (1,1,0)
Przewidywany kąt odbicia q1=21±4
q2=46±10
3 Wskaźnik Millera (0,0,1)
odległość międzypłaszczyznowa d=22,5±1[mm]
Przewidywany kąt odbicia q=46±10
4. Wskaźnik Millera (1,0,1)
odległość międzypłaszczyznowa d=59±1[mm]
Przewidywany kąt odbicia q1=16±2
q2=33±7
q3=54±19
5. Wskaźnik Millera (2,0,1)
odległość międzypłasczyznowa d=78±1[mm]
Przewidywany kąt odbicia q1=24±5
q2=38±9
q3=55±20
Pomiarów dokonaliśmy dla dwóch ustawień modelu także we wskaźniku Millera albo l albo k było równe zeru.
Oto Otrzymane wyniki
Ustawienie 1
Ustawienie 2
RACHUNEK BŁĘDÓW
Jako błąd przy pomiarze odległości płytek w modelu pierwszym przyjęliśmy dokładność linijki do 1mm (wyciągnęliśmy średnią z odległości zmierzonych pomiędzy wszystkimi płytkami). Przy pomiarze kątów wzięliśmy pod uwagę dokładność odczytu z kątomierza zamontowanego przy podstawie modelu. Do obliczeń wielkości pośrednich zastosowaliśmy metodę różniczki zupełnej według wzoru:
Błędy w naszym doświadczeniu mogą być spowodowane niedobrą współpracą przyrządów pomiarowych gdyż podczas wykonywania jakiś czynności w okolicach oscyloskopu lub woltomierza, wskazówka potrafiła zmieniać swoje położenie od minimum do maksimum bez jakichkolwiek ruchów detektorem. Okazało się później że nawet po wyłączeniu źródła mikrofalowego opisane wyżej zjawisko miało miejsce. Pomiary wykonywaliśmy z użyciem wzmacniacza, a także bez niego. W obu przypadkach mogliśmy zaobserwować dość duże szumy.
WNIOSKI
Mimo problemów z urządzeniami pomiarowymi wyniki były w większości zgodne z oczekiwanymi i mieściły się w granicach obliczonych błędów.