Wahadło fizyczne.
Dowolne ciało sztywne zawieszone w punkcie O (różnym od œrodka ciężkoœci) tak,że może się wahać dookoła pewnej osi przechodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.
Rys. wahadło fizyczne
Wahadło proste,czyli pojedynczy punkt materialny zawieszony na nieważkiej nici jest szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego.
Moment bezwładnoœci punktu materialnego o masie m względem wybranej osi obrotu w odległoœci r definujemy następująco:
I=mr^2 (1)
Dla ciała sztywnego, ktore nie składa się z oddzielnych mas punktowych, lecz ma ciągły rozkład masy, moment bezwładnoœci wyraża się całką:
I=ňr^2dm (2)
Wahadło odchylone od pionu o kąt q, a następnie puszczone swobodnie, będzie wykonywać drgania zwane ruchem wahadłowym , zatem można stwierdzić, że ciało sztywne obraca się wokół osi O pod wpływem momentu siły ciężkoœci.
Moment siły dla wychylenia q jest rowny:
N=mgasinq (3)
a-odłegłoœć między osią obrotu przechodzącą przez punkt O a œrodkiem masy S.
Ruch wahadła fizycznego opisuje druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
e=N/I (4)
e-przyspieszenie kątowe
e=d^2q/dt^2 (5)
Io d^2q/dt^2=-mgasinq (6)
Io-moment bezwładnoœci względem osi obrotu przechodzącej przez punkt zawieszenia O.
Znak minus po prawej stronie uwzględnia fakt, że siła mgsinq jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia.
Jeœli ruch wahadła fizycznego ograniczymy do małych kątów wychylenia wtedy sinus kąta można zastąpić samym kątem, czyli sinq»q.Wówczas równanie (6) można zapisać:
d^2q/dt^2+wo^2q=0 (7)
gdzie:wo^2=mga/ Io
Rozwiązaniem (7) równania jest prosty ruch harmoniczny.
q=qm cos(wot+a) (8)
qm - amplituda
a - faza zależna od warunków początkowych
Okres drgań wahadła związany jest bezpoœrednio z częstoœcią wo i wynosi:
T=2p(Io/mga)^1/2 (9)
Z równania 9 możemy otrzymać moment bezwładnoœci w postaci:
Io=(T^2 mga)/(4p^2) (10)
Istnieje prosta zależnoœć między momentem bezwładnoœci wzgledem danej osi Io a jego momentem bezwładnoœci Is wzgledem osi przechodzącej przez œrodek masy i równoległej do poprzedniej, zależnoœć ta dana jest przez twierdzenie Steinera:
Io=Is+ma^2