I. Wartość pieniądza w czasie

Ustalenie wartości wyjściowej

w

X = 1 + r

x - wartość przed zmianą procentową

w - wartość po zmianie

r - zmiana procentowa

Zad. 1/ Jaka była cena towaru jeżeli po 25% podwyżce kosztuje 800 zł.?

800 800 800

^{X =} 1 + 25% ⁼ 1 + 0,25 ⁼ 1,25 ⁼ 640

Zad. 2/ Jaka była cena towaru jeżeli po uzyskaniu 15% rabatu nabywca zapłacił 4 131 zł.?

4131 4131 4131

^{X =} 1 - 15% ⁼ 1 - 0,15 ⁼ 0,85 ⁼ 4860

II. Oprocentowanie proste 100% 120%

140%

160%

K_n = K₀ (1 + r ^. n)

K_n - wartość przyszła

K₀ - wartość początkowa

r - oprocentowanie

n - liczba lat

Zad 1/ Jaką kwotę uzyskamy wpłacając na okres 13 lat 2500 zł. jeżeli oprocentowanie proste lokaty wynosi 4% ?

K_n = 2500 (1 + 4% ^. 13)

K_n = 2500 (1 + 0,04^. 13)

K_n = 2500 (1,52) = 3800

K_n

K₀ = 1 + r ^. n

Zad. 2/

Jaką kwotę należy wpłaci, aby po 4 latach i oprocentowaniu prostym 5,5% uzyskać 12000 zł.?

12000 12000

K₀ = 1 + 5,5% ^. 4 = (1+ 0,055 ^. 4) = 9 836,066

Wzór na oprocentowanie

K_n

K₀ ^{= 1 + r . n}

K_n

K₀ ^{- 1 = r . n}

K_n 1

K₀ ^{- 1} n ^{= r}

Zad 1/ Jakie było oprocentowanie proste lokaty jeżeli kapitał początkowy wzrósł po 5 latach dwukrotnie ?

2x 1 1

^{r =} x ^{- 1} 5 ^{= (2-1) .} ₅ ^{= 20%}

_{a teraz dla liczby lat}

K_n 1

K₀ ^{- 1} r ^{= n}

Zad 2/ Na ile lat złożono 2500 zł. jeżeli przy oprocentowaniu prostym 4% uzyskano 6000 ?

6000 1 1 1,4

^{n =} 2500 ^{- 1} 0,04 ^{= (2,4-1)} _0,04 ⁼ _0,04 ^{= 35}

III. Oprocentowanie składane - występuje wtedy kapitalizacja odsetek

FV = PV (1 + r)ⁿ

FV - wartość przyszła

PV - wartość obecna (początkowa)

r - oprocentowanie

n - liczba lat

Zad. 1/ Jaką kwotę uzyskamy wpłacając na 3 lata 5000 jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 7%

FV = 5000 (1 + 0,07)³ = 6 125,215

Wartość obecna

FV

PV = (1+r)ⁿ

Zad. 2/

Jaką kwotę należy wpłacić, aby po 4 latach i oprocentowaniu 5% uzyskać 2000 zł.?

2000 2000 2000

PV = (1+0,05)⁴ = (1,05) ⁴ = 1,21550625 = 1 645,405

Kapitalizacja w różnych okresach

r n ^. a

FV = PV 1+

a

a - ilość kapitalizacji przypadająca na 1 rok

Zad. 3/ Obliczyć kwotę zgromadzoną na koncie po 2 latach jeżeli oprocentowanie lokaty wynosiło 6%. Kapitalizacja była półroczna, a wpłacana kwota 8000.

0,06 4 1,06 4

FV = 8000 1 + 2 = 8000 2 = 8000 (1,03)⁴ = 8000 ^. 1,13 = 9040

FV

PV = n ^. a

r

1 + a

Zad. 4/

Jaką kwotę należy wpłacić, aby przy oprocentowaniu 5% i kapitalizacji co 20 lat po 40 latach zgromadzić 5000 zł. ?

5000 5000

PV = 40 ^. 0,05 = PV 4 = 1250

0,05

1 +0,05

Regularne płatności :

1/ Wpłaty dokonywane są na początku lub na końcu rocznego okresu

(okres roczny - rozpoczyna się w dowolnym dniu roku).

2/ Wielkość wpłat jest jednakowa.

3/ Oprocentowanie jest stałe, a kapitalizacja roczna.

I PMT PMT PMT II PMT PMT PMT

P P

V P V FV

A V A

A

1/ Wpłaty dokonywane na początku roku :

(1 + r) ⁿ⁺¹ - (1 + r)

FVA = PMT ^. r

FVA - wartość przyszła

PMT- wartość jednorazowej wpłaty

r- oprocentowanie

n- liczba lat

Zad. 1/ Jaką kwotę zgromadzimy wpłacając przez 4 lata na początku każdego roku

1 000,00 zł. , jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 20%.

(1 + 0,2) ⁵ - (1 + 0,2)

FVA = 10000 ^. 0,2

(1,2) ⁵ - (1,2) 2,49 - 1,2 1,29 1290

FVA = 10000 ^. 0,2 = 0,2 =1000 ^. 0,2 = 0,2 = 6450,00 zł.

Spr. 1000 1000 1000 1000

FV = PV (1+r) ⁿ

2073,60 FV = 1000 . (1,2) ⁴

1728 FV = 1000 . (1,2) ³

1440 FV = 1000 . (1,2) ²

1200 FV = 1000 . (1,2) ¹

6441,60

FVA ^. r

PMT = (1+r) ⁿ⁺¹ - (1+r)

PMT < FVA

FVA musi być większe. Równe, gdy nie ma oprocentowania

Zad. 2/ Jaką kwotę należy wpłacać przez 4 lata na początku każdego roku, aby przy

oprocentowaniu 7,2% uzyskać 20 000 zł.?

20 000 ^. 0,072 1440 1440 1440

PMT = (1+0,072) ⁴⁺¹ - (1+0,072) = (1,072)⁵ - (1,072) = 1,42-1,072 = 0,35 = 4114,29

2/ Wartość obecna PVA

FVA (1 + r) ⁿ⁺¹ - (1 + r)

PVA = (1+r) ⁿ = PMT r (1 + r) ⁿ

Zad. 3/ Obliczyć obecną wartość 4 wpłat dokonanych na początku każdego roku w wysokości

5 000 zł. jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 4,6%.

(1 + 0,046)⁵-(1 + 0,046) (1,046)⁵-1,046 1,252 - 1,046 0,206

PVA= 5000 0,046 (1 + 0,046) ⁴ = 5000 0,046 (1,046)⁴ = 5000 0,046 ^. 1,197= 5000 0,055=18 727,27

(Powinno wyjść 18 718 zł. - gdy wyliczymy na kalk. bez zaokrągleń, ale wpisując do zad. wartość do 3 miejsc po przecinku)

PVA <
PMT < FVA

3/ Wpłaty na koniec roku

(1 + r) ⁿ - 1

FVA = PMT r

Zad. 4/

Jaką kwotę uzyskamy wpłacając przez 4 lata na końcu każdego roku 3 000 zł., jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 10%.

(1 + 0,10) ⁴ - 1 (1,1)⁴- 1 1,464 - 1 0,464 1392

FVA = 3000 0,10 = 3000 0,1 = 3000 0,1 =3000 0,1 = 0,1 = 13 920 zł.

Spr. 3000 3000 3000 3000

FV = PV (1+r) ⁿ

3993 FV = 3000 . (1,1) ³

3630 FV = 3000 . (1,1) ²

3300 FV = 3000 . (1,1) ¹

3000

13923

FVA ^. r

PMT= (1 + r) ⁿ - 1

Zad 5/

Jaką kwotę należy wpłacać przez 4 lata na końcu każdego roku, aby przy oprocentowaniu

10,3% uzyskać 40 000 zł.?

40000 ^. 0,103 4120 4120 4120

PMT= (1 + 0,103)⁴ - 1 = (1,103) ⁴- 1 = 1,480 - 1 = 0,48 = 8583,33 zł.

FVA (1 + r)ⁿ - 1

PVA = (1+r) ⁿ = PMT r (1 + r) ⁿ

Zad. 6/

Jaką kwotę należy wpłacić, aby przez kolejne 5 lat móc wypłacać na końcu każdego roku 4000 zł., jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 6,8% ?

(1 + 1,068)⁵ - 1 (1,068)⁵ - 1 1,389 - 1 0,389

PVA = 4000 0,068 (1 + 0,068)⁵ = 4000 0,068 (1,068)⁵ = 4000 0,068 ^. 1,389 = 4000 0,094 =

1556

= 0,094 = 16 553,19 zł.

Dyskonto weksla

d ^. t

K = S 1 365

K - kwota zdyskontowana , czyli kwota którą uzyskamy przy oddaniu weksla

S - suma wekslowa (wartość nominalna - kwota na którą weksel był wystawiony)

d - stopa dyskontowa stosowana przez bank

t - czas w dniach do wykupu weksla

Zad. 1/ Jaką kwotę uzyska przedsiębiorstwo oddają do dyskonta weksel o wartości 12 000

i terminie wykupu 17 dni jeżeli bank stosuje stopę dyskontową = 20% ?

Liczyć bardzo dokładnie - do 7,8 miejsc po przecinku!

I sposób

0,20 ^. 17 3,4

K = 12 000 ( 1 - 365 ) = 12 000 ( 1 - 365) = 12 000 ( 1 - 0,00931506) =

= 12 000 ^. 0,990684932 = 11 888,22

II sposób - wtedy liczymy do 2 miejsc po przecinku

S ^. d ^. t 12 000 ^. 0,20 ^. 17 40 800

O = 365 = 365 = 365 = 111,78

K = S - O = 12 000 - 111,78 = 11 888,22

Wzór na wartość pośrednią

Ws - Wk 60 - 30

Stopa zwrotu z inwestycji Wk np. Wk = 30, Ws = 60 60 = 1

Ws - wartość sprzedaży

Wk - wartość kupna

Ws - Wk 365

R = Wk ^. t

R - rentowność weksla w skali roku

Rzeczywisty koszt kredytu wekslowego dla przedsiębiorstwa, a dla banku to rentowność weksla.

12 000 - 11 888,22 365 111,78 365 40799,7

R = 11 888,22 ^. 17 = 11 888,22 ^. 17 = 202 099,74 = 0,20187 (tak zaokrąglać!)

Wycena obligacji

K₁ + K₂ + + K_n + W_n

C_o =(1+YTM)¹ (1+YTM)² ……… (1+YTM)ⁿ (1+YTM)ⁿ

C_{o -} cena obligacji

K_1, K_2, K_{n -} odsetki od obligacji ,kupony czas w latach do wykupu obligacji

W_n - wartość nominalna

YTM - wymagana stopa zwrotu inwestora (może być rynkowa stopa %)

n -czas w latach do wykupu obligacji

=
+
+
+

Zad.

Obliczyć cenę obligacji czteroletniej o wartości nominalnej 8000 zł i oprocentowaniu 7,5%, jeżeli wymagana stopa zwrotu inwestora wynosi 10 %

K= 600 , bo jest to stałe oprocentowanie
8000
7,5% = 600

=
+
+
+
+
= 7366,03

Obligacje zerokuponowe do poprzednich zadań.

Obligacja ta musi być sprzedawana z dyskontem , bo inaczej inwestor by nic nie zarobił.

Zad.

Obliczyć cenę obligacji 35 letniej o wartości nominalnej 6000 i oprocentowaniu 5%, jeżeli wymagana stopa zwrotu inwestora wynosi 7%.

Kupon %% , czyli 300 ł

Z tablic na

=
= 561,9767

Lub PV

= 562,2

PVA =PMT

PVA = 12,9477
300 = 3884,31

Z poprzedniego 561,98 + 3884,31 = 4446,29 - na teście nie będzie

Oprocentowanie efektywne kredytu (lokaty)

r oprocentowanie nominalne

r_ef = (1+ a )^a - 1

^{ilość kapitalizacji w ciągu roku}

Zad 1/ Która z lokat jest najkorzystniejsza?

a/ 10,6% kapitalizacja roczna

b/ 10,2% kapitalizacja półroczna

c/ 10% kapitalizacja kwartalna

0,106

a/ r_ef = (1+ 1 )¹ -1 = 1,106-1 = 0,106 Odp. a

0,102

b/ r_ef = (1+ 2 )² -1 = (1,051) ² -1 = 0,1046

0,10

c/ r_ef = (1+ 4 )⁴ -1 = (1,025)⁴ -1 = 0,1038

Minimalne oprocentowanie kredytu

r_ef

BEP = 1 - R

rezerwa obowiązkowa

Zad 2/ Obliczyć minimalne oprocentowanie kredytu jeżeli bank przyjmuje lokaty kwartalne na 10%, a rezerwa obowiązkowa wynosi 6,5 %.

0,1038 0,1038

BEP = 1 - 6,5% = 1-0,065 = 0,1110 wzrosło o 0,0072 pkt procentowych

Amortyzacja kredytu - 10 pkt. na teście !!!

Zad. 1/

Sporządzić plan amortyzacji kredytu 4 -letniego o wartości 8 000 i oprocentowaniu 10%.

Spłata w równych ratach kapitałowych.

Stan początkowy	Rata	Odsetki	Płatność	Stan końcowy
8000	2000	800	2800	6000
6000	2000	600	2600	4000
4000	2000	400	2400	2000
2000	2000	200	2200	0

Jeżeli są równe raty to stan końcowy musi wynieść 0.

Zad. 2/

Sporządzić plan amortyzacji kredytu 2 -letniego o wartości 5 000 i oprocentowaniu 10%.

Spłata w równych kwotach płatności.

Stan początkowy	Rata	Odsetki	Płatność	Stan końcowy
5000	2381	500	2881	2619
2619	2619,1	261,9	2881	-0,1

Najpierw wpisz odsetki, potem oblicz ile wynosi płatność, odejmij odsetki od płatności i wpisz ratę, odejmij ratę od stanu początkowego i masz stan końcowy.

(1 + r) - 1

A = S (1 + r) ⁿ (1 + r)ⁿ - 1

oprocentowanie

liczba lat w których spłacamy kredyt

kwota płatności

kwota kredytu do spłacenia

(1 + 0,1) - 1 1,1 - 1 0,1 605

A = 5000 (1 + 0,1) ² (1 + 0,1)² - 1 = 5000 (1,1)² 1,21-1 = 5000 . 1,21 0,21 = 0,21=2880,95

Z tych zadań wynika, że lepiej spłacać kredyt w równych ratach niż w równych kwotach płatności.

Zad. 3/

Sporządzić plan amortyzacji kredytu 4 -letniego z 2-letnim okresem karencji z regularnymi płatnościami odsetkowymi o wartości 6 000 i oprocentowaniu 15%.

Spłata w równych ratach kapitałowych.

Stan początkowy	Rata	Odsetki	Płatność	Stan końcowy
6000	-	900	900	6000
6000	-	900	900	6000
6000	3000	900	3900	3000
3000	3000	450	3450	0

Zad. 4/

Sporządzić plan amortyzacji kredytu 4 -letniego z 2-letnim okresem karencji bez regularnych płatności odsetkowych o wartości 5 000 i oprocentowaniu 20%.

Spłata w równych ratach kapitałowych.

Stan początkowy	Rata	Odsetki	Płatność	Stan końcowy
5000	-	-	-	6000
6000	-	-	-	7200
7200	3600	1440	5040	3600
3600	3600	720	4320	0

Tarcza podatkowa - odsetki od kredytów stanowią koszt uzyskania przychodu.

r_p = r (1-p)

stawka podatkowa płacona przez podmiot

oprocentowanie kredytu

rzeczywisty koszt kredytu uwzględniający zobowiązanie podatkowe

Zad. 5/

Obliczyć rzeczywisty koszt kredytu jeżeli jego oprocentowanie wynosi 18%, a podmiot płaci 19% podatek.

r_p = 0,18 (1-0,19) = 0,18 - 0,81 = 0,1458

9

---