WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
LABORATORIUM FIZYCZNE
Grupa szkoleniowa ..EN 13 Krajewski
Ostrowska Urszula
....................................... ..............................................
(ocena przygotowania. (ocena końcowa)
do ćwiczenia)
SPRAWOZDANIE
Z
PRACY LABORZTORYJNEJ Nr. 24
Rezonans w obwodach elektrycznych
.................................. ................................
(ocena przygotowania do ćwiczenia) (ocena końcowa)
Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia było zbadanie własności obwodu rezonansowego złożonego z elementów rzeczywistych RLC oraz wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych napięć.
1. Opis teoretyczny
Zjawisko rezonansu związane jest z wymuszonymi drganiami układów drgających, np. mechanicznych lub elektrycznych. Pojęcie wymuszenia drgań oznacza, że obwód drgający nie został wytrącony z równowagi, lecz cały czas działa na niego siła.
i(t) L R
Układ rezonansowy RLC
W pewnym momencie na kondensatorze C został zgromadzony ładunek q, a prąd płynący w cewce i oporniku jest równy zeru, następuje rozładowanie kondensatora, zaczyna płynąć prąd określony zależnością:
dq(t) / dt = i
W miarę gdy ładunek q na kondensatorze zmniejsza się, maleje zgromadzona w nim energia elektryczna:
uE = q2 / 2C
Wzrasta natomiast energia pola magnetycznego gromadzona w cewce:
uB = L i2 / 2
W rezultacie pole elektryczne maleje, pole magnetyczne wzrasta, a energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora zmienia się na energię pola magnetycznego cewki. W procesie tym przez opornik przepływa prąd wydzielając na nim ciepło Joule'a i następuje zamiana energii na ciepło w ilości:
uJ = R i2 / 2
Jeden pełny cykl następuje wtedy, gdy pole elektryczne kondensatora ma ten sam zwrot.
2. Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych układu RLC.
Lo=30,6*10-3 H
Co=3,9*10-9 F
Uo=2,5V
Tabela pomiarowa:
Lp. |
f |
U1 |
U2 dla: C1=82 pF |
U3 dla: C1=130 pF |
U4 dla: C1=240 pF |
|
|
|
[Hz] |
[V] |
[V] |
[V] |
[V] |
- |
- |
1 |
13 000 |
1,587 |
0,116 |
0,236 |
0,689 |
-0,0780 |
27,115385 |
2 |
13 100 |
1,730 |
0,152 |
0,309 |
0,914 |
-0,0709 |
|
3 |
13 200 |
1,904 |
0,196 |
0,404 |
1,281 |
-0,0638 |
|
4 |
13 300 |
2,111 |
0,250 |
0,540 |
1,806 |
-0,0567 |
|
5 |
13 400 |
2,370 |
0,343 |
0,741 |
2,605 |
-0,0496 |
|
6 |
13 500 |
2,693 |
0,474 |
1,032 |
3,594 |
-0,0426 |
|
7 |
13 600 |
3,103 |
0,671 |
1,495 |
4,133 |
-0,0355 |
|
8 |
13 700 |
3,638 |
0,994 |
2,240 |
3,975 |
-0,0284 |
|
9 |
13 800 |
4,340 |
1,513 |
3,165 |
3,654 |
-0,0213 |
|
10 |
13 900 |
5,239 |
2,264 |
3,725 |
3,535 |
-0,0142 |
|
11 |
14 000 |
6,396 |
3,050 |
3,809 |
3,533 |
-0,0071 |
|
12 |
14 100 |
7,083 |
3,296 |
3,760 |
3,818 |
0,0000 |
|
13 |
14 200 |
6,885 |
3,292 |
3,773 |
4,091 |
0,0071 |
|
14 |
14 300 |
6,015 |
3,016 |
3,504 |
3,987 |
0,0142 |
|
15 |
14 400 |
4,974 |
2,323 |
2,722 |
3,216 |
0,0213 |
|
16 |
14 500 |
4,070 |
1,588 |
1,913 |
2,328 |
0,0284 |
|
17 |
14 600 |
3,597 |
1,063 |
1,316 |
1,676 |
0,0355 |
|
18 |
14 700 |
2,687 |
0,732 |
0,936 |
1,236 |
0,0426 |
|
19 |
14 800 |
2,500 |
0,524 |
0,689 |
0,935 |
0,0496 |
|
20 |
14 900 |
2,188 |
0,409 |
0,523 |
0,730 |
0,0567 |
|
21 |
15 000 |
1,891 |
0,275 |
0,389 |
0,554 |
0,0638 |
|
3. Wyznaczenie częstotliwości rezonansowej fr.
Zmieniając stopniowo częstotliwość sygnału podawanego z generatora, ustalono max. wartość mierzonego napięcia u1. Częstotliwość, przy której u1 = u1max, określana jest mianem częstotliwości rezonansowej i oznaczamy ją symbolem: fr.
Wartość fr, określona w ćwiczeniu wynosi:
fr = 14,1 kHz
4. Obliczona częstotliwości rezonansowej fr
5. Wykreślenie zmierzonej zależności u1(x), gdzie:
dla pozostałych częstotliwości analogicznie
6. Wyznaczenie dobroci obwodu Q
Przedstawiony powyżej wykres u1 / u0 w funkcji „ częstotliwości względnej ” nazywa się krzywą rezonansową. Max. wartość stosunku u1 / u0 wyznaczona na wykresie ( dla: f = fr ) nosi nazwę dobroci układu Q, która w przeprowadzonym ćwiczeniu wyniosła 3,6. Jest to jedno z najważniejszych wielkości charakteryzujących obwód rezonansowy. Dla obwodu szeregowego mówi ona np. ile razy w rezonansie wzrasta napięcie na elementach L i C.
Dla f = fr dobroć układu:
przy czym nie mamy danego Uo, czyli liczymy Q za pomocą odczytanego B, za pomocą wzoru:
7. Określenie pasma częstotliwości B.
Właściwości filtracyjne obwodu rezonansowego polegają na znacznym wzroście amplitudy napięcia wyjściowego, jeśli częstotliwość napięcia podawanego na obwód leży w paśmie częstotliwości B. Wyznaczenie wartości pasma B, ma więc bardzo duże znaczenie przy rozpatrywaniu obwodów rezonansowych.
Odczytujemy z wykresu B=520
8. Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych napięć u2, dla różnych wartości pojemności C.
9. Korzystając z II prawa Kirchoffa, wyznaczam równania drgań wymuszonych w obwodzie RLC przedstawionego na poniższym rysunku.
a). i(t) L R
b).
L R
Układ rezonansowy RLC.
Aby opisać, jak zmienia się prąd w obwodzie RLC skorzystałam z II prawa Kirchoffa, które mówi że suma spadków napięć w obwodzie równa jest zeru.
Z prawa Ohma spadek napięcia na oporniku R jest równy:
uR(t) = i(t) R
Napięcie na kondensatorze C przyjmuje wartość:
uc(t) = 1 /C 0∫t i(t) d(t) + uC0
gdzie: uC0 oznacza wartość napięcia na kondensatorze C w chwili t = 0.
Korzystając z prawa Faraday'a, możemy określić siłę elektromotoryczną, która indukuje się
w cewce L:
uL(t) = - L d[i(t)] / dt
Mamy więc:
uL(t) = uR(t) + uc(t)
- L di / dt = iR + 1 /C 0∫t i(t) d(t)
Korzystając z zależności: uc(t) = 1 /C 0∫t i(t) d(t) + uC0, oraz ze związku między prądem
a ładunkiem: dq(t) / dt = i, przyjmując, że w chwili początkowej t = 0, q = 0 powyższe równanie przyjmuje postać:
L d2q / dt2 + q / C = 0
Wprowadzając oznaczenia:
2β = R / L i ω20 = 1 / LC
Otrzymamy ostateczną postać równania:
d2q / dt2 + 2β dq / dt + ω20 q = 0
WNIOSKI I OCENA OTRZYMANYCH REZULTATÓW
W momencie rezonansu szeregowego wartość napięcia U1 jest maksymalna równa iloczynowi napięcia UE i dobroci obwodu Q. Na podstawie tych wykresów mogę z dużym przybliżeniem określić wartość częstotliwości rezonansowej. Wartość ta dla danych odczytanych z wykresów wynosi 14100 [Hz]. Na podstawie wartości elementów wynosi 14721 [Hz].
Ewentualne rozbieżności wynikają stąd iż wzory te są prawdziwe jedynie dla idealnych elementów R,L,C a tu mają 5% tolerancję, przy uwzględnieni jej częstotliwość zmienia się w zakresie od 14020 do 15496 Hz.
W pojedynczych obwodach kształt krzywej rezonansowej jest dzwonowaty o łagodnych zboczach . W obwodach sprzężonych wartość napięcia U2 jest mniejsza co widać na wykresie i zależna od stopnia sprzężenia któr reguluje CX. Mamy trzy rodzaje sprzężeń.
Dla Cx=82pF amplituda jest mniejsza niż dla obwodu pojedynczego , występuje tu sprzężenie podkrytyczne. Dla drugiej wartości pojemnościi charakterystyka przy wierzchołku jest bardziej płaska i ma bardziej strome zbocza. Dla Cx=240pF wykres posiada trzy punkty ekstremalne takie sprzężenie nazywamy nadkrytycznym. W tym przypadku zwiększa się jeszcze nachylenie charakterystyki na krawędziach pasma natomiast tracimy na amplitudzie , która zmniejsza się do połowy w porównaniu z obwodem pojedynczym.
Trudno jest także na podstawie takich pomiarów jakich dokonaliśmy na pracowni określić te wartości z dużą dokładnością, a ponadto podczas przeprowadzania pomiarów wyraźnie był widoczny wpływ przyrządów pomiarowych na badany układ Dlatego mogliśmy jedynie określić wartości przybliżone. Pomimo tego różnice pomiędzy wartościami obliczonymi a zmierzonymi są niewielkie.
6
4
e
C
C
C