54299

6. Estymator nieobciążony o minimalnej wariancji, informacja Fishera, nierówność Rao-Cramera, efektywność estymatora

1.    Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Pg. Obliczyć informację Fishera 1(0) w przypadku:

(a) Po jest rozkładem normalnym Af(/i.<7²), 0 = /c € R,

(b) Pg jest rozkładem normalnym N(fi,o²). 0 = a > 0,

(c)    Pg jest rozkładem normalnym A^O^cr²), 0 = a³ > 0.

2.    Niech (X|,...,X_n) będzie próbą losową z rozkładu dwumianowego B(m.0). Estymator największej wiarogodności parametru 0 jest równy T = Xfm.

(a)    Czy T jest estymatorem nieobciążonym?

(b)    Znaleźć wariancję T.

(c)    Obliczyć informację Fishera zawartą w ciągu obserwacji (Aj.....A_n).

(d)    Czy estymator T jest efektywny?

(e)    Czy T jest estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji?

3.    Niech X = (Aj,____A_n) będzie próbą losową z rozkładu Poissona V(\)

oraz g(A) = e~^x. Można pokazać, że

jest ENMYV(</(A)). Czy jest to estymator efektywny?

4. Udowodnić, że jeżeli X = (Xi.....A„) jest próbą z rozkładu normal

nego Af(fi,o²), gdzie // jest znane, a a > 0 nieznane, to

n

jest estymatorem nieobciążonym parametru <x, a jego efektywność wynosi