60679

SPRZEZENIE HERMITOWSKIE MACIERZY

Sprzężenie hermitowskie macierzy - złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie

M_n(C) ->• A/„(C)

dane wzorem

^ = (fly) »"► ^ = {<%) Innymi słowy.

A* = A^T=At.

Uogólnieniem pojęcia sprzężenia hermitowskiego macierzy na operatory na przestrzeniach Hilberta jest pojęcie operatora sprzężonego.

1	100-999?:	0'		1	1-2 i	i
1 + 2z	2 + 3i	0	^ .4* =	100 + 999Ż	2-3 i	3 + 4i
—i	3 — 4i	3		0	0	3

Macierz hermitowska (sam osp rzężona) A, to taka macierz kwadratowa, która jest równa swojemu sprzężeniu hermitowskie mu.

Macierz:

	2	1-2 i	i
A =	1 + 2 i	-2	3 + 2 i
	—i	3 — 2z	5

jest samo sprzężona, ponieważ:

2    1-2    i    i

= A

A*=    l+2z    -2    3 +    2 i

-i    3-2 i    5

WŁASNOŚCI:

• Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wartości rzeczywiste.

Macierze hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne. Istotnie, niech A będzie wartością własną macierzy A tj. Ax= A*dla pewnego niezerowego wektora x Wówczas A(x, x} = (Aa*, x) = (Ax, x) — (x, ,4a) = (x, Ax) = A{x, a)

co dowodzi, że A jest liczbą rzeczywistą ponieważ A = A.