55175

HU(x)) = F(x) + C

H^,(y_I(x))_y;(x) = F*(x)

h(y_t(x))' y_t(x) = f(x)

dy f(x)

czyli y = y, (x) spełnia równanie ~ —    ■

Uwaga

Równanie H(y(x)) = F(x) +C zapisujemy w tradycyjny sposób fh(y)dy = J f(x)dx -ł-C .

□

Tw icrdzcnie

Jeśli f eC((a,b)),

/te C((c,d>),

h(y) =*0 dla ye(c,d),

to

1° wzór Jh(y)dy =J f{x)dx -hC przedstawia całkę ogólną równania ^ = ~~~~j

2 przez każdy punkt (*» y) całkowa

(a,b)x(c,d) przechodzi dokładnie jedna krzywa

równania

^dy - f (*)

dx h(y)'

Przykład

Rozwiązać równanie y'

3y

X

dy „ dx

Rozdzielamy zmienne — ^{= —}3 —

^J    y    x

całkujemy równanie).

r^=-3f^

J y    J _X

i wyznaczamy całkę ogólną równania (mówimy, że

ln|y| =—3ln|xj -ł-ln|C, |, gdzie C, * 0

M=|c.l

Stąd

yx³ =C, gdzie C *0, i otrzymujemy rozwiązanie C

y = —r, dla C ^ 0. x

Gdy ^c —⁰ => y =0 => y' =0; równanie jest spełnione,

czyli y =0 jest krzywą całkową równania.

Zatem rodzina

y = —r, gdzie Ce R x

jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania.

5